Read More
Date: 17-11-2020
1058
Date: 14-2-2021
1924
Date: 31-10-2020
1351
|
The scalar triple product
Consider three vectors a, b, and c. The scalar triple product is defined a . b ˄ c. Now, b˄c is the vector area of the parallelogram defined by b and c. So, a. b˄c is the scalar area of this parallelogram times the component of a in the direction of its normal. It follows that a . b ˄ c is the volume of the parallelepiped defined by vectors a, b, and c. This volume is independent of how the triple product is
formed from a, b, and c, except that
(1.1)
So, the ''volume" is positive if a, b, and c form a right-handed set (i.e., if a lies above the plane of b and c, in the sense determined from the right-hand grip rule by rotating b on to c) and negative if they form a left-handed set. The triple product is unchanged if the dot and cross product operators are interchanged:
(1.2)
The triple product is also invariant under any cyclic permutation of a, b, and c,
(1.3)
but any anti-cyclic permutation causes it to change sign,
(1.4)
The scalar triple product is zero if any two of a, b, and c are parallel, or if a, b, and c are co-planar. If a, b, and c are non-coplanar, then any vector r can be written in terms of them:
(1.5)
Forming the dot product of this equation with b ˄ c then we obtain
(1.6)
so
(1.7)
Analogous expressions can be written for β and γ. The parameters α, β, and γ are uniquely determined provided a . b˄c ≠ 0; i.e., provided that the three basis vectors are not co-planar.
|
|
طبيبة تبدد 5 خرافات رئيسية عن تغذية الأطفال
|
|
|
|
|
وفاة أول رجل خضع لزراعة كلية خنزير.. والمستشفى يوضح الأسباب
|
|
|
|
قبل افتتاحها بايام.. شاهد بالصور اكاديمية الثقلين للتوحد واضطرابات النمو في البصرة
|
|
قبل ايام من افتتاحه.. لقطات حصرية توثق اللمسات الاخيرة لإنجاز أحدث مستشفى لعلاج السرطان في البصرة تابع للعتبة الحسينية (صور)
|
|
بالصور: طلبة وطالبات الجامعات التابعة للعتبة الحسينية يؤدون الامتحانات النهائية
|
|
الأمين العام للعتبة الحسينية: تبني مشروع تأسيس هيئة التعليم التقني يأتي لحاجة العراق الماسة إلى الربط بين الجانبين النظري والعملي
|