تحويلات السرعة والمتجه الرباعي للسرعة

لنفرض ان جسيما يتحرك في الفضاء ذي الابعاد الاربعة. الخط الذي يتخذه الجسيم خلال حركته يسمى بالخط العالمي ويمكن تحديده في محور اسناد معين بالإحداثيات x_μ التي كما لاحظنا تتحول كمتجه رباعي. ووفقا لذلك فان الفرقx_μΔ بين نقطتين على هذا الخط هو متجه رباعي ايضا الا ان النسبة  ليست متجها رباعيا لان الفترة الزمنية tΔ تأخذ قيما مختلفة في محاور اسناد مختلفة.

سنحاول الان ايجاد فترة زمنية اخرى Δτ تسمى بالفترة الزمنية المناسبة بين حدثين والتي تبقى دون تغيير بالنسبة لجميع محاور الاسناد. وللحصول على هذه الفترة نتبع الطريقة الآتية :

من العلاقة الاتية  نكتب :

ووفقا لذلك تكون الفترة الزمنية المناسبة هي :

    (1.1)

يلاحظ من العلاقة الاخيرة ان Δτ تبقى دون تغيير. وان u و uʹ سرعتا الجسيم في محور الاسناد s و sʹ على التوالي :

اذا كان المتجه الرباعي للسرعة يحدد بالكميات الاربع V_μ, μ=1,2,3,4 فان :

    (1.2)

حيث ان :

   (1.3)

وهذا المتجه يتحول بالطريقة نفسها التي يتحول فيها المتجه الممثل بمركباته x_μ ولذلك فهو متجه رباعي ونسميه بالسرعة الرباعية او المتجه الرباعي للسرعة. ومركبات هذه السرعة تحسب كالآتي :

      (1.4)

وبتربيع طرفي كل معادلة من هذه المعادلات ثم اجراء عملية الجمع ينتج ان :

      (1.5)

ولما كانت السرعة الرباعية تتحول كمتجه رباعي فيمكننا كتابة العلاقة :

وبالاستعانة بالمصفوفة a_μv المكتوبة عناصرها في العلاقة الاتية:

تكون لدينا معادلات التحويل الاتية الخاصة بمركبات السرعة الرباعية :

      (1.6)

المعادلات (1.4) يمكن كتابتها بصورة مختصرة على النحو التالي :