الكميات المماسية

حيث يفك مكب (بكرة الخيط) خيطاً ملفوفاً عليه أو تتدحرج عجلة على الأرض بدون انزلاق تحدث حركتان في نفس الوقت، إحداهما دورانية والأخرى خطية، والمطلوب الآن هو إيجاد العلاقة بين هذين النوعين من الحركة. من المعلوم أن العلاقة بين المسافتين الخطية s والزاوية θ تمثلها معادلة تعريف القياس الزاوي. ولإيضاح ذلك لنرجع إلى الشكل 1)).

الشكل ((1: حينما تدور العجلة زاوية θ على الأٍرض فإنها ترسم على الأرض مسافة مماسية قدرهاs = rθ .

يوضح هذا الشكل ان المسافة الخطية التي تتدحرجها العجلة s تساوي المسافة المماسية التي تقطعها أي نقطة على حافتها، هذا يمكننا من إيجاد علاقة بين الحركة الخطية والحركة الدورانية للعجلة المتدحرجة. وطالما لم تعان العجلة أي انزلاق فإن s = rθ ، حيث θ مقاسة بالزاوية نصف القطرية. علاوة على ذلك إذا نظرنا إلى المكب الموضح بالشكل 2)) سنرى أن هناك علاقة مشابهة لطريقة لف الخيط على حافته. وبدوران المكب بإزاحة زاوية قدرها θ يلتف طول قدره s من الخيط على حافة المكب. إذن، في جميع الحالات تحقق العلاقة:

(1)          ( θ بالزاوية نصف القطرية) s = rθ

الشكل 2)): ما طول الخيط الذي يلتف على المكب عند دورانه دورة واحدة؟

لاحظ مرة اخرى أن θ في هذه الحالات يجب أن تكون مقاسة بالزاوية نصف القطرية لأن المعادلة (1) مبينة على أساس تعريف القياس الزاوي.

وعندما يدور المكب المبين بالشكل (2) بمعدل معين سوف ترتفع الكتلة المعلقة في طرف الخيط بسرعة معينة. بالمثل، عندما تتدحرج العجلة الموضحة بالشكل 1))على الأرض بدون انزلاق فإنها تدور حول محورها بمعدل معين ويتحرك مركزها في نفس الوقت بسرعة معينة. في كل من هاتين الحالتين يكون مقدار السرعة مساوياً لمقدار سرعة أي نقطة على حافة المكب أو العجلة. ويقال عندئذ أن أي نقطة على الحافة تتحرك دائماً بنفس هذا المعدل في اتجاه مماسي للمكب أو العجلة؛ وتسمى سرعة حركة أي نقطة على الحافة  بالسرعة المماسيةv_T  لهذه النقطة. لنحاول الآن إيجاد علاقة بين السرعة المماسية v_T والسرعة الزاوية ω للعجلة.

اذا دار المكب في الشكل (3 أ) بسرعة ثابتة المقدار زاوية θ خلال الزمن t ستكون سرعته الزاوية  ω = θ/t وحيث أن θ = s/r، حيث r نصف قطر المكب، يمكننا التعويض بهذه القيمة في معادلة ω لنحصل على:

الشكل 3)): ترتبط السرعة الزاوية ω بالسرعة المماسية v_T طبقاً للعلاقة v_T = ωr في هذه العلاقة يجب ان تكون ω مقدرة بالقياس الزاوي.

ولكن s/t ببساطة هو مقدار سرعة ارتفاع الكتلة في الشكل (3 أ) وهو يساوي مقدار السرعة المماسية v_T للنقطة A. وهكذا فإن هذه المعادلة للسرعة الزاوية ω تعطى ω= v_T /r ، أو:

(2)         v_T = ωr = مقدار السرعة المماسية

وهنا أيضاً يجب استخدام القياس نصف القطري. وبطريقة مشابهة يمكننا إثبات أن مركز العجلة في الشكل 3) ب) يتحرك أيضاً بسرعة مقدارها v_T = ωr بشرط عدم انزلاق العجلة. ومن ثم يمكننا أن نرى أن المعادلة (2) هي علاقة هامة بين الحركة الدورانية لجسم وحركته الخطية الناتجة عن الدوران.

هناك كمية هامة أخرى تسمى العجلة المماسية. فعندما تزيد السرعة الزاوية للعجلة الدائرة سوف تزداد v_T بالضرورة. نجد أن العجلة الزاوية α هي :                                                  

حيث ω_f - ω_i هو التغير في السرعة الزاوية خلال الفترة الزمنية t. ونظراً لأن ω= v_T /r  يمكننا كتابة العلاقة السابقة على الصورة :

هذا ببساطة هو معدل تغير مقدار السرعة المماسية، او مقدار العجلة المماسية a_T. وعليه فإن مقدار a_T يرتبط بالعجلة الزاوية طبقاً للعلاقة :

      (3)         

هذا أيضاً هي العجلة الخطية لمركز العجلة المتدحرجة او أي نقطة معينة على الخيط المفكوك. هل يمكنك إثبات ذلك على أساس تعريف العجلة بأنها معدل التغير في السرعة – السرعة المماسية في هذه الحالة؟