تقريب بورن – اوبنهايمر Born-Oppenheimer Approximation

اقترح هذا التقريب من قبل بورن واوبنهايمر عام 1927 في الايام الاولى لميكانيكا الكم ولا يزال الى يومنا هذا من غير الممكن الاستغناء عنه في حسابات الدول الموجية الجزيئية ويضم تقريب بورن – اوبنهايمر خطوتين وفي الخطوة الاولى تهمل طاقة النواة الحركية وتدخل المواقع النووية في هاملتون الالكترونات كاعلومات فقط ولا تزال الالكترونات تحت تاثير جهد كولوم للنوى المعلقة في الفضاء ثم يجري حل معادلة شرودنجر لايجاد الدول الموجية الالكترونية مع ثبات مواقع النوى وفي الخطوة الثانية يعاد ادخال الطاقة الحركية النووية وتحمل معادلة شرودنجر للحركة النووية، ففي الخطوة الاولى نحصل على حل معادلة شرودنجر للمسالة الالكترونية لترتيب نووي ثابت وعشوائي وفي الخطوة الثانية يمكن ايجاد حل للمسالة النووية باختزال تاثير الالكتورنات الى جهد مؤثر. في تقريب بورن – اوبنهايمر كل المكافئات C_mm تؤخذ مساوية للصفر، ويهمل الترابط بين الحركة الالكترونية والحركة النووية وتصبح المعادلة بالشكل:

..................(1)

في تقريب بورن – اوبنهايمر معادلة شرودنجر للدوال النووية  (χ_n (R في الحالة الالكترونية n، والتي تعين سعة الاحتمالية لتواجد النواة عند الاحداثي R، تكون بالشكل:

.....................(2)

هذا المؤثر الهاملتوني يعطى بالمعادلة:

...................(3)

المؤثر الهاملتوني يساوي مجموع طاقة النواة الحركية والطاقة الكامنة (U_n(R والتي تساوي الطاقة الكلية للجزيئة الجاسئة E_n⁽⁰⁾_(R) تبين المعادلة 3 انE_n⁽⁰⁾_(R)   يمكن اعتبارها كجهد U_n(R) تتحرك النواة فيه. لاي حالة الكترونية Φ^e_n بطاقة E_n⁽⁰⁾_(R) توجد حلول من مجمع دوال χ_nv والتي يمكن النظر اليها على انها الدوال النووية في الحالة الالكترونية Φ^e_n والتي تصف الحالات الاهتزازية المختلفة كما مبين بالدليل v.

يفصل تقريب بورن – اوبنهايمر معادلة شرودنجر الى معادلتين مستقلتين هما:

.....................(4)

....................(5)

الدالة الموجية الكلية Ψ لحالة الكترونية في تقريب بورن – اوبنهايمر يمكن كتابتها كحاصل ضرب دالة موجية الكترونية ودالة موجية نووية:

يتبين من الدالة الموجية Ψ ومن المعادلتين 4 و5 ان الطاقة الكلية E_n,i تتكون من جمع متوسط الطاقة الحركية النووية والالكترونية وتحتوي الطاقة الكامنة للتنافر بين النوى:

الدالة الكلية Ψ يمكن معايرتها بمعايرة المعاملات بشكل مستقل، اي ان: