There are two definitions of the Carmichael function. One is the reduced totient function (also called the least universal exponent function), defined as the smallest integer  such that  for all  relatively prime to . The multiplicative order of  (mod ) is at most  (Ribenboim 1989). The first few values of this function, implemented as CarmichaelLambda[n], are 1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 2, 6, 4, 10, ... (OEIS A002322).

It is given by the formula

(1)

where  are primaries.

It can be defined recursively as

(2)

Some special values include

{1 for n=1, n=2; 2 for n=2; 2^(n-2) otheriwse " src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/CarmichaelFunction/NumberedEquation3.gif" style="height:64px; width:188px" />

(3)

and

{1 for n=1, n=2; 2 for n=3; 4 for n=5; (n!)/(2n#) otherwise, " src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/CarmichaelFunction/NumberedEquation4.gif" style="height:102px; width:199px" />

(4)

where  is a primorial (S. M. Ruiz, pers. comm., Jul. 5, 2009).

The second Carmichael's function  is given by the least common multiple (LCM) of all the factors of the totient function , except that if , then  is a factor instead of . The values of  for the first few  are 1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 2, 12, ... (OEIS A011773).

This function has the special value

(5)

for  an odd prime and .

REFERENCES:

Ribenboim, P. The New Book of Prime Number Records. New York: Springer-Verlag, p. 27, 1989.

Riesel, H. "Carmichael's Function." Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, 2nd ed. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 273-275, 1994.

Sloane, N. J. A. Sequences A002322/M0298 and A011773 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Vardi, I. Computational Recreations in Mathematica. Redwood City, CA: Addison-Wesley, p. 226, 1991.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

المجمع العلمي للقرآن الكريم يصدر الكتاب الثاني من سلسلة يخشى

قسم الشعائر يكرّم أصحاب المواكب المشاركة في إحياء ذكرى شهادة السيدة الزهراء (عليها السلام)

جامعة العميد تستقبل طلبة المراحل الأولى المقبولين ضمن كلياتها للعام الدراسي الجديد

سماحة السيد الصافي يكرّم طلبة حفظ القرآن الكريم المتفوّقين ويؤكّد دور التدبّر في الهداية والتكامل

المزيد

الآخبار الصحية

طبيب يكشف تأثير برودة الشتاء على النوم

دون أن تعلم.. 10 عادات يومية تسرع شيخوخة جسمك

تقرير: النيكوتين خطر على القلب مهما كانت الطريقة

أيهما أفضل لصحتك.. زبدة الفول السوداني أم النوتيلا؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

السعودية تدشن أكبر نظام لتخزين الكهرباء بالبطاريات في العالم !

بأمر تنفيذي.. ترامب يؤكد هدف عودة الأميركيين إلى القمر في عام 2028

بعيدا عن البشر.. "قتال جوي في الفضاء" بين أميركا والصين

كشف مذهل في قاع "برمودا" !

المزيد