تعريف (1-1):

تسمى المجموعة الجزئية W من الفضاء V، فضاء جزئي في V إذا كانت W نفسها فضاء متجهات تحت عمليتي الجمع والضرب في V.

ملاحظة:

يتضح من التعريف (1-1) أنه لكي نبرهن W فضاء جزئي من V علينا أن نبرهن أن W تحقق الشروط العشرة الواردة في التعريف (1-1)في(فضاء المتجهات الحقيقي). ولكن عدداً من تلك الشروط لا حاجة لتحقيقها هنا لأن W هي جزء من V، هذه الشروط هي m₅,m₄, m₃, m₂, A₃. لذا سنحتاج فقط برهان الشروط m₁, A₅, A₄, A₁.

مبرهنة (1-2):

المجموع الجزئية غير الخالية W من V تكون فضاء جزئي من V إذا وفقط إذا تحقق الشرطان:

1. لكل v,u∊W فإن v+u∊W

2. إذا k عدد ثابت و v ∊W فإن KV∊W

البرهان :

نبرهن الاتجاه الأول.

نفرض W قضاء جزئي، إذن W فضاء متجهات ولهذا فإنها تحقق شروط التعريف (1-1) في(فضاء المتجهات الحقيقي)، ومنها الشرطان 1 و 2.

وبالعكس نفرض الشرطان متحققان.

لما كانت الشروط A₂ و A₃ و m₂ وm₃ و m₄ و m5 متحققة تلقائياً لأن W مجموعة جزئية من V.

بقي لدينا أن نبرهن الشروط A₄ و A₅.

نفرض v ∊W ، بموجب الشرط الثاني أعلاه فإن Kv ∊W لكل ثابت K. بفرض K = 0 فإن 0V = 0 (مبرهنة (1-2) في(فضاء المتجهات الحقيقي)،  في w وعند فرض K = -1 نحصل على (-1)v = -v في W.

مثال(1):

لتكن w هي مستوى مار بنقطة الأصل [الشكل (1-1) ] و u, v متجهات في W. لذا v+u ∊W وان v + u قطر متوازي الأضلاع، كذلك kv يقع في w ولأي k لأن kv متجه يقع عل امتداد الخط المار بالمتجه v. لذا فإن شروط المبرهنة (1-2) متحققة. عليه فإن W قضاء جزئي.

                                شكل (1-1)

مثال(2):

إذا كانت V فضاء متجهات فإن المجموعة {0} و V نفسها فضاءات جزئية من V، (لأن 0+0=0 وk0=0 لكل عدد ثابت k).

الفضاءات الجزئية {0} و V تسمى الفضاءات الجزئية الواضحة. الفضاءات الجزئية في V عدا الواضحة تسمى الفضاءات الجزئية الفعلية.

مثال(3):

نفرض W هو المستقيم المار بنقطة الأصل في R³، فإن W هو فضاء جزئي. واضح هندسياً [الشكل (5-2) ] أن مجموع متجهين واقعين على هذا المستقيم يقع على المستقيم نفسه، كذلك ضرب أي متجه واقع على هذا المستقيم بعدد ثابت يقع على المستقيم نفسه.

                                        شكل (2-1)

مثال(4):

لتكن P_n مجموعة جمع متعددات الحدود التي درجاتها أصغر أو تساوي n. إذا كان 0<m<n فإن المجموعة الجزئية P_m فضاء جزئي فعلي في P_n .

مثال(5):

إذا كان U و W فضاءات جزئية في الفضاء V فإن تقاطعهما U⋂W فضاء جزئي في V.

مثال(6):

لتكن W مجموعة جميع النقاط (x,y) في R² بحيث أن x,y≽0 إذن هذه النقاط تقع في الربع الأول، لهذا فإن W ليست فضاء جزئي تقع في W لكن (-1)v=(-1,-1)لا تقع في W.

تعريف (1-3):

ليكن V فضاء متجهات و v₁, v₂, v₃, … , v_n متجهات في V يقال للمتجه v في V بأنه تركيب خطي من المتجهات v₁, v₂, , …, v_n إذا أمكن كتابة v بالشكل:

حيث c_n, … , c₂, c₁ كميات ثابتة.

مثال(7):

نفرض v₁ = (1,2,-1) و v₂ = (1,0,-1) متجهات في R³ ، فإن v = (1,0,2)  تركيب خطي من المتجهات v₁ و v₂.

لكي نبرهن تركيب خطي يجب أن نجد c₁ و c₂ بحيث v = c₁v₁ + c₂v₂ أي أن :

عليه:

ولكن هذه المعادلات ليست لها حل، عليه فإن v ليست تركيب خطي من v₁ و v₂.

مثال(8):

إذا كانت متجهات في R³ فإن v = (2,1,5,-1) هو تركيب خطي من v₁ و v₂ و v₃

الحل:

نفرض:

بالتعويض:

وبالمقارنة والتساوي نحصل على:

أي أن: 

                                                V=v₁+2v₂-v₃

ومنها فإن v تركيب خطي من v₃,v₂,v₁.

تعريف (1-4):

إذا كانت v₁,v₂,….v_n متجهات في V، وأن أي متجه v في V هو تركيب خطي من v₁,v₂,….v_n ، فإن هذه المتجهات يقال بأنها تكون [أو تولد أو تنشأ] V

مثال (9):

المتجهات القياسية I = (1,0,0) ، j = (0,1,0) ، K = (0,0,1) في R³ تولد (تنشأ) R³ يمكن كتابته بالشكل:

تركيب خطي من k,j,i.

ملاحظة:

إذا كانت V_n, … , V₂, v₁ تنشأ الفضاء V، فإننا نقول بأنها Span (V).

مثال(10):

 xⁿ,….x²,x,1تنشأ فضاء المتجهات Pⁿ مجموعة جميع متعددات الحدود من الدرجة n) وذلك لأن متعددة حدود p∊pn(x)  هي عبارة عن تركيب خطيب من xⁿ,….x²,x,1، أي:

مثال(11):

مبرهنة (1-5):

لتكن S = v₁, v₂, … , v_m مجموعة جزئية من V، فإن:

1. مجموعة جميع التراكيب لمتجهات S، تكتب L(S)، تكون فضاء جزئياً من V.

2. إذا كانت W فضاء جزئي آخر في V يحوي S فإن L(S)CW. بمعنى آخر L(S) هو أصغر فضاء جزئي يحوي S ويسمى الفضاء الجزئي المتولد من S.

البرهان:

1. نفرض أن u, v متجهان في L(S)، أي:

وكذلك:

إذن كل من v + u و kv في L(S). عليه L(S) فضاء جزئي من V. لما كان أي متجه في S يمكن كتابته.

فإن L(S) يحتوي على جميع المتجهات v_n, … , v₂,v₁.

2. نفرض أن W فضاء جزئي يحوي S. لما كان W مغلق بالنسبة للجمع والضرب بكمية ثابتة. لذلك فإن W يحوي على جميع التراكيب الخطية.

لكل المتجهات v_n, …, v₂,v₁ عليه L(S) CW.

مبرهنة (1-6):

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الإعلام يشارك في الاجتماع التحضيري لمناقشة الخطة الإعلامية لزيارة عاشوراء

بحضور متوليها الشرعي.. العتبة العباسية المقدسة تواصل إقامة المجالس الحسينية لإحياء شهر المحرم

قسم الشؤون الفكرية يطلق برنامجه التبليغي في أكثر من 20 دولة إفريقية

شعبتا الخطابة النسوية والتوجيه الديني تواصلان إقامة المجالس الحسينية في مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

دراسة تكشف علاقة خطيرة بين عمر الأم وصحة مولودها

دراسة تحذر.. اضطراب نوم بسيط قد يسبب الموت المبكر ؟

الاستحمام بالماء الساخن.. راحة مؤقتة وأضرار دائمة للبشرة

ماذا يحدث للجسم عند تخطي وجبة الإفطار؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

كيف تساعد الصيانة الوقائية في الحفاظ على كفاءة التكييف في سيارتك ؟

في ظاهرة غريبة حيرت العلماء.. كوكبنا قد يسجل أقصر يوم في التاريخ هذا الصيف!

السد الصيني العملاق يعيق دوران الأرض ويغيّر شكلها ؟

السعودية تطلق 10 تجارب علمية إلى محطة الفضاء الدولية

المزيد

مواضيع ذات صلة

فضاء المتجهات الإقليدي-تمارين محلولة

فضاء المتجهات الإقليدي-تمارين محلولة

فضاء المتجهات الإقليدي-الفضاء الاقليدي النوني

فضاء المتجهات العام- فضاء المتجهات الحقيقي

فضاء المتجهات العام-رتبة المصفوفات بعد الفضاء الصفري

فضاء المتجهات العام-فضاء الصفوف وفضاء الأعمدة والفضاء الصفري

فضاء المتجهات العام- الأساس والبعد

فضاء الضرب الداخلي-الأساسات المتعامدة طريقة كرام ــ شمت

فضاء الضرب الداخلي-الضرب الداخلي

فضاء الضرب الداخلي-المصفوفات المتعامدة، تبديل الأساسات

فضاء الضرب الداخلي-الزوايا والتعامد في فضاء الضرب الداخلي

أنظمة المعادلات الخطية والمصفوفات -تمارين محلولة