الضرب الاتجاهي (الضرب التقاطعي):

كثيراً من تطبيقات المتجهات في الفيزياء والهندسة تحتاج إلى معرفة المتجه المرسوم في الفضاء 3- الذي يكون عمودياً على متجهين معلومين. سنحاول في هذا البند التعريف بأحد انواع المتجهات الذي يعطينا ذلك المتجه.

تعريف (1-1): لكت v = (v₁ , v₂ , v₃)  و u = (u₁ , u₂, u₃) متجهان مرسومان في فضاء 3- فإن الضرب الاتجاهي ،يكتب v x u، يعرف:

إن حفظ الصيغة اعلاه قد يبدو صعباً، لذا نقترح الطريقة الآتية لإيجاد مركبات v x u.

1. نرتب مركبات v و u بشكل مصفوفة سعتها 2 x 3.

2. نوجد المركبة الاولى للمتجه v x u بحذف العمود الأول ونأخذ محدد المصفوفة الباقية فنحصل على:

3. نوجد المركبة الثانية للمتجه v x u بحذف العمود الثاني ونأخذ سالب محدد المصفوفة الباقية:

4. نحذف العمود الثالث من المصفوفة الأصلية وبأخذ محدد المصفوفة المتبقية نحصل على:

 مثال (1):

أوجد v x u إذا علمت ان v = (4-, 0,2) و u = (1,3,-3)

الحل:

نجد مصفوفة مركبات v و u:

ملاحظة:

الضرب النقطي v.u هو كمية ثابتة بينما الضرب الاتجاهي v x u فهو متجه. كما وأن المتجه  v x u عمودي على كل من v و u.

مبرهنة (1-2):

إذا كانت w,u,v متجهات مرسومة في فضاء 3- فإن:

1. v. (v x u) = 0 (v x u عمود على v).

2. u. (v x u) ( v x u عمود على v).

البرهان:

نبرهن الحالة (1)

مثال(2):

لتكن v = (2,3,-4) ، u = (1,-1,2) . احسب u x v ثم برهن أن u x v عمودياً على كل من u و v.

الحل:

وبنفس الطريقة v. (u x v) = 0

لذا فإن u x v متجهات في فضاء 3- و k كمية ثابتة فإن:

البرهان:

نكتب المصفوفة:

لتكن i = (1,0,0)، j = (0,1,0) ، k = (0,0,1) هذه المتجهات تسمى متجهات الوحدة القياسية في فضاء 3- وتقع على امتداد الإحداثيات الثلاثية (الشكل (3-23). وأن أي متجه مثل               v = (v₁,v₂,v₃)يمكن التعبير عنه بدلالة k,j,i وكالآتي:

                                                شكل1-1 

               شكل (1-2)

ولسهولة حفظ هذه العلاقات يمكن تمثيل ذلك باستخدام الشكل (1-2)، حيث أن الضرب الاتجاهي لأي متجهين قياسيين باتجاه عقارب الساعة يساوي المتجه الثالث بإشارة موجبة والضرب عكس عقارب الساعة فيساوي المتجه الثالث بإشارة سالبة.

ملاحظة:

يمكن التعبير عن الضرب الاتجاهي باستخدام k , j , i وكما يأتي:

مثال (3):

لتكن v = (1,0,-2)  و  u = (3,2,1) فإن:

مبرهنة (1-4):

إذا كانت v و u متجهان في فضاء 3-، فإن || v x u|| تساوي مساحة متوازي الأضلاع المتكونة بواسطة v و u.

البرهان:

من المبرهنة (1-2) (3) لدينا:

لكن ||u||sin⍉ هو ارتفاع متوازي الأضلاع المتكون من v و u. لذا فإن مساحته A (شكل 1-3) هي:

                                                شكل (1-3)

مثال(4):

أوجد مساحة متوازي الأضلاع الذي رؤوسه P = (1,3,-2) ، Q (2,1,4) و R(-3,1,60)

الحل:

                   شكل (1-4)

تعريف (1-5):

إذا كانت w, u, v متجهات في فضاء 3-، فإن v. (u x w) يقال له الضرب الثلاثي النقطي.

من الممكن إيجاد الضرب الثلاثي النقطي للمتجهات v = (v₁, v₂, v₃) و u = (u₁ , u₂, u₃) و w = (w₁ , w₂ , w₃) من الصيغة:

مثال (5):

أوجد الضرب الثلاثي النقطي للمتجهات:

تمرين (1): مساحة متوازي الأضلاع في فضاء 2- المتكون من u = (u₁ , u₂)  و               u = (u₁ , u₂) تساوي القيمة المطلقة للمحدد:

(2) حجم متوازي المستطيلات ف فضاء 3 المتكون بوساطة المتجهات 

 يساوي القيمة المطلقة للمحدد:

الحل:

(1) من الممكن استعمال مبرهنة (1-4) لبرهان الحالة (1) من خلال اعتبار v = (v₁ , v₂)  و  u = (u₁, u₂) متجهات مرسومة ف الفضاء الجزئي xy من النظام الثلاثي الأبعاد xyz (شكل 1-5). في هذه الحالة v = (v₁, v₂, 0)  و  (u₁, u₂, 0). لذا

وبموجب المبرهنة (1-4) وحقيقة كون ||K|| = 1، المساحة A لمتوازي الأضلاع المحدد بالمتجهات U , V:

                        شكل (1-5)

(2) قاعدة متوازي المستطيلات المتكونة من المتجهات W , U, V عبارة عن متوازي الأضلاع المتكونة بواسطة w , u (شكل 1-6).

عليه وبموجب مبرهنة (1-4) فإن مساحة القاعدة هي ||u x w||، وارتفاع متوازي المستطيلات h هو طول المسقط العمودي للمتجه v على u x w.

لذا بموجب الصيغة (9) في (الضرب النقطي , المساقط)

                                      شكل (1-6)

عليه فحجم متوازي المستطيلات:

V = القاعدة × الارتفاع

وبموجب الصيغة (5)

مثال(6): أوجد حجم متوازي المستطيلات المحدد بالمتجهات v = (4,1,1) و u = (2,1,0) و w = (0,2,3) الحل:

تعريف (1-6):

المستويين ₁ πو π₂ متوازيين إذا كان حاصل ضربهما الاتجاهي يساوي صفراً                    (π₁ x π₂ = 0)

مثال (7):

الحل:

وكذلك n₁xn₂=0 فإن المستويان متوازيين لاحظ الشكل (1-7)

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الإعلام يشارك في الاجتماع التحضيري لمناقشة الخطة الإعلامية لزيارة عاشوراء

بحضور متوليها الشرعي.. العتبة العباسية المقدسة تواصل إقامة المجالس الحسينية لإحياء شهر المحرم

قسم الشؤون الفكرية يطلق برنامجه التبليغي في أكثر من 20 دولة إفريقية

شعبتا الخطابة النسوية والتوجيه الديني تواصلان إقامة المجالس الحسينية في مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

دراسة تكشف علاقة خطيرة بين عمر الأم وصحة مولودها

دراسة تحذر.. اضطراب نوم بسيط قد يسبب الموت المبكر ؟

الاستحمام بالماء الساخن.. راحة مؤقتة وأضرار دائمة للبشرة

ماذا يحدث للجسم عند تخطي وجبة الإفطار؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

كيف تساعد الصيانة الوقائية في الحفاظ على كفاءة التكييف في سيارتك ؟

في ظاهرة غريبة حيرت العلماء.. كوكبنا قد يسجل أقصر يوم في التاريخ هذا الصيف!

السد الصيني العملاق يعيق دوران الأرض ويغيّر شكلها ؟

السعودية تطلق 10 تجارب علمية إلى محطة الفضاء الدولية

المزيد

مواضيع ذات صلة

فضاء المتجهات الإقليدي-تمارين محلولة

فضاء المتجهات الإقليدي-تمارين محلولة

فضاء المتجهات الإقليدي-الفضاء الاقليدي النوني

فضاء المتجهات العام- فضاء المتجهات الحقيقي

فضاء المتجهات العام-رتبة المصفوفات بعد الفضاء الصفري

فضاء المتجهات العام-فضاء الصفوف وفضاء الأعمدة والفضاء الصفري

فضاء المتجهات العام- الأساس والبعد

فضاء المتجهات العام-الفضاءات الجزئية

فضاء الضرب الداخلي-الأساسات المتعامدة طريقة كرام ــ شمت

فضاء الضرب الداخلي-الضرب الداخلي

فضاء الضرب الداخلي-المصفوفات المتعامدة، تبديل الأساسات

فضاء الضرب الداخلي-الزوايا والتعامد في فضاء الضرب الداخلي