فضاء الضرب الداخلي-المصفوفات المتعامدة، تبديل الأساسات
المؤلف:
علي جاسم التميمي
المصدر:
مقدمة في الجبر الخطي
الجزء والصفحة:
337-343
15-3-2016
13562
المصفوفات المتعامدة، تبديل الأساسات:
نتناول في هذا البند دراسة العلاقة بين مفهوم الأساس ومصفوفة الإحداثيات، وسندرس أيضاً طريقة تبديل أساسات فضاء المتجهات.
تعريف ((1-1:
يقال للمصفوفة المربعة A متعامدة إذا تحققت العلاقة:
مثال(1):
برهن أن 
مصفوفة متعامدة. اوجد A-1.
لما كان:
مثال(2):
المصفوفة الأساسية لدوران R2 حول زاوية قيمتها θ هي:
مبرهنة (1-2):
لتكن A مصفوفة سعتها n x n فإن الصيغ الآتية تكون متكافئة.
1. A متعامدة.
2. متجهات صفوف A تكون مجموعة عيارية في R" مع الضرب الداخلي الاقليدي.
3. متجهات أعمدة A تكون مجموعة عيارية في R" مع الضرب الداخلي الاقليدي.
البرهان: 1←2
العنصر في الصف i والعمود رقم j في حاصل الضرب AAT هو الضرب النقطي للمتجه في الصف i من A والمتجه العمود رقم j في AT. لكن متجه العمود رقم j في AT هو نفسه متجه الصف رقم j في A. لذا إذا كانت an, … , a2, a1 هي متجهات صفوف A فإن الضرب AAT يمكن كتابته بالشكل:
لذا فإن AAT = 1 إذا وفقط إذا كان 
،هذه العلاقات تكون صحيحة إذا وفقط إذا {a1, a2, …, an} مجموعة عيارية في Rn.
بنفس الأسلوب نبرهن 1←3
خواص المصفوفات المتعامدة:
إذا كانت A و B مصفوفتان متعامدتان فإن:
1. معكوس A مصفوفة متعامدة.
2. A B مصفوفة متعامدة.
3 det A = 1 أو det A = -1
البرهان:
1. بما أن A متعامدة فإن AT = A-1 لهذا فإن A-1 متعامدة.
2. لدينا AT = A-1 و BT = B-1 عليه:
ومن هذا نستنتج ان AB متعامدة.
3. لدينا AAT = 1
تبديل الأساسات
سنكتفي بشرح طريقة تبديل الأساسات في فضاء البعد الثاني ومن ثم نعمم تلك الطريقة للبعد n.
نفرض v1, v2}=S هي مجموعة الأساس القديم و v'1 , v'2}=S' الأساس الجديد. لإيجاد مصفوفات الإحداثيات لمتجهات الأساس الجديد نسبة للأساس القديم نفترض أن 
أي أن:
ولكي نجد إحداثيات المتجه v القديمة نكتب v بدلالة الأساس S نعوض (2) في (3) سنحصل على:
أي ان مصفوفة الإحداثيات القديمة s[v] تساوي حاصل ضرب مصفوفة الإحداثيات الجديدة بالمصفوفة 
من جهة اليسار حيث أعمدة P هي إحداثيات متجهات الاساس الجديد نسبة للأساس القديم.
وبصورة عامة:
إذا نقلنا أساس فضاء المتجهات V من الأساس القديم v1, v2, …, vn}=S إلى الأساس الجديد {v'1, v'2, …. , v'n} S' = فإن مصفوفة الإحداثيات القديمة S[v] للمتجه v يمكن ربطها بمصفوفة الإحداثيات الجديدة s'[v] لنفس المتجه v بواسطة العلاقة:
حيث أن أعمدة P هي مصفوفات إحداثيات الأساس، لجديد نسبة للأساس القديم، أي أن أعمدة P هي:
تعريف (1-3):
المصفوفة P التي تنقل الاساس الجديد S' للأساس القديم S تسمى مصفوفة انتقال S' إلى S ويعبر عنها كمتجهات أعمدة بالشكل:
مثال(3):
مثال(4):
إذا كانت v'2, v'1, v2, v1 كما في المثال(3) فما هي مصفوفة الانتقال من S' إلى S. من الواضح أن:
خواص مصفوفات الانتقال:
1. إذا ضربنا مصفوفة الانتقال من S إلى S' بمصفوفة الانتقال من S' إلى S نجد أن:
لهذا فإن PQ = 1 أي أن Q = P-1
2. إذا كانت P مصفوفة الانتقال من S' إلى S. فإن لكل متجه v تتحقق العلاقات الآتية:
3. إذا كانت P مصفوفة انتقال من أساس عياري إلى أساس عياري آخر لفضاء الضرب الداخلي، فإن P مصفوفة متعامدة، أي أن P-1 = PT.
مثال(5):
لتكن 
الناتجة من تدوير المحاور y, x بزاوية θ إلى المحاور y' , x'.
عليه فإن:
الاكثر قراءة في الجبر الخطي
اخر الاخبار
اخبار العتبة العباسية المقدسة
