أنظمة المعادلات الخطية والمصفوفات -تمارين محلولة
المؤلف:
علي جاسم التميمي
المصدر:
مقدمة في الجبر الخطي
الجزء والصفحة:
77-83
14-3-2016
18937
تمارين محلولة:
حل النظام الخطي التالي مستخدماً طريقة كاوس وطريق قاوس ــ جوردن.
الحل:
(a) توجد المصفوفة الممتدة للنظام الخطي:
(b) تعدل الصفين الأول والثاني ــ كلا مكان الآخر.
(c) نضرب الصف رقم 1 في -3 ونضيفه للصف الثاني:
وكذلك نضرب الصف رقم 1 بالعدد -1 ونضيفه للصف الثالث
(d) نضرب بالصف رقم 2 بالعدد 1/4:
(e) نضرب الصف رقم 2 والعدد 3 ونضيفه:
هذه الصيغة تسمى بالصيغة المدرجة الصيغة (أو صيغة كاوس)
وبالتعويض عن X3 في المعادلة الثانية لإيجاد قيمة X2 ومن ثم نعوض x2 و x3 فإن المعادلة الثالثة لإيجاد X1.
وللسهولة في إيجاد قيم X1 و X2 و X1 نستمر في اختزال المصفوفة في الخطوة رقم 5. (f) بإضافة الصف الثالث لكل من الصفوف رقم 1 أو رقم 2
(g) نضرب الصف الثاني بالعدد 1 ونضيفه للصف الأول.
وهذه الصيغة تسمى الصيغة المدرجة المختزلة (او صيغة كارس ــ جوردن) وبمجرد النظر نصحل على الحل وهو:
2. حل النظام الخطي التالي:
الحل:
نوجد المصفوفة الممتدة:
بوساطة عمليات الصف البسيطة يتمكن بتحويل المصفوفة أعلاه للصيغة المندمة الصفية (صيغة كاوس) التالية (برهن ذلك).
بالاستمرار في استخدام عمليات الصف البسيط ، نستطيع الحصول على الصيغة المدرجة الصفية المختزلة:
المصفوفة الأخيرة هذه هي المصفوفة الممتدة للنظام:
حيث t أي عدد حقيقي.
نلاحظ من خلال الحل أعلاه أن هناك عدد غير منتهي من الحلول.
3. أوجد جميع حلول النظام الخطي المتجانس.
الحل:
المصفوفة الممتدة للنظام هي:
أما الصيغة المدرجة المختزلة لها فهي:
النظام الخطي المقابل هو:
X = W
Y = w
Z = - w
عليه فإن الحل هو : (t1 , -t, t, t) لأي عدد حقيقي t.
4- برهن أن AB ≠ BA
الحل:
عليه فإن AB = BA، بصورة عامة كذلك لما كان AB ≠ 1 فإن AB = BA = I ومن ذلك نستنتج أن B + A-1، أي أن A غير قابلة للانعكاس (A-1 غير موجودة).
أوجد A-1 ،إذا وجد معكوس للمصفوفة:
1. تكون المصفوفة [A:I3]
2. بواسطة عمليات الصف البسيطة فإن A تختزل صفياً إلى I3، إذا كانت A قابلة للانعكاس I3, ستصبح A-1.
الاكثر قراءة في الجبر الخطي
اخر الاخبار
اخبار العتبة العباسية المقدسة
