تحويلات لورنس

ان فكرة وجود وسط يملأ كل شيء يسمى الاثير اصبحت لا وجود لها استنادا الى نتائج كثيرة توصل اليها العلماء في هذا الحقل وخاصة تجربة مايكلسن ومورلي. اما اينشتاين ومنذ بداية القرن العشرين وبعد هذه التجربة فقد ادخل اسلوبا جديدا يستند على فرضيتين مهمتين هما :

أولا : ان جميع قوانين الفيزياء متكافئة بالنسبة لجميع محاور الاسناد. اي ان القوانين الخاصة بالفيزياء مثل قوانين نيوتن وغيرها تبقى كما لا تتغير في كل مكان وفي اي زمان.

ثانيا : سرعة الضوء في الفراغ واحدة وتساوي C في جميع محاور الاسناد. اي ان سرعة الضوء ثابتة لجميع المشاهدين ولا تعتمد على أية حركة نسبية للمصدر أو المشاهد.

اذا كانت سرعة الجسيمات عالية تقرب من سرعة الضوء فان تحويلات غاليليو لا تصح في مثل هذه الحالات، فقد لوحظ انها تعطي نتائج غير صحيحة، فجاء لورنس ليدخل تعديلا على هذه التحويلات مستندا على فرضيتي آينشتاين. واقترح ان القياسات المتخذة للإزاحة والزمن بالنسبة لمشاهدي في محور اسناد مختلفين sʹ,s، (حيث ان السرعة النسبية بينهما تساوي v) يجب ان تكتب بالصيغة :

     (1.1)

    (1.2)

حيث ان b , a معاملان مناسبان ينبغي معرفتهما.

نفرض الان ان محوري الاسناد sʹ,s كانا منطبقين على بعضهما في نقطة اصل مشتركة في زمن t=tʹ=0 وفي هذه اللحظة صدرت اشارة ضوئية في تلك النقطة، كما موضح في الشكل (1.1a).

الشكل (1.1) محور الاسناد sʹ,s a))في حالة انطباقها في زمن t=tʹ=0 b))في حالة انفصالها باتجاه الاحداثي x بعد زمن t ≠ tʹ≠ 0.

وبعد فترة معينة من الزمن t ≠ tʹ≠ 0 يكون المحور sʹ قد انتقل الى موضع جديد باتجاه الاحداثي x كما في الشكل (1.1b)، وخلال تلك الفترة تكون الاشارة الضوئية الاولى قد قطعت في s مسافة باتجاه الاحداثي  xمساوية الى :

    (1.3)

وقطعت باتجاه الاحداثي xʹ في محور الاسناد sʹ مسافة مساوية الى :

   (1.4)

وتجدر الاشارة الى ان سرعة الضوء بقيت كما هي مساوية الى .. بالنسبة لمحوري الاسناد (فرضية اينشتاين الثانية). سرعة نقطة الاصل ز. كما هي مقاسة

بالنسبة لمشاهد في s يمكن الحصول عليها بوضع xʹ=0 في المعادلة (1.2) وسرعة نقطة الاصل o كما هي مقاسة بالنسبة لمشاهد في sʹ يمكن الحصول عليها بوضع x=0 في المعادلة (1.1) فيكون :

   (1.5)

الان بتعويض قيمة xʹ من المعادلة (1.4) في المعادلة (1.1) والاستعاضة عن  xفي (1.1) بما يساويها في (1.3) ينتج ان :

وبالمثل بالنسبة للمعادلة (1.2) يحصل ان :

وبضرب المعادلتين الاخيرتين في بعضهما ينتج ان :

حيث تم اختزال المقدار ttʹ في طرفي المعادلة التي نتجت من عملية الضرب. من العلاقة الاخيرة نحصل على :

وباستبدال العامل a بآخر هو γ :

    (1.6)

اذ ان .

يمكننا كتابة معادلتي التحويل (1.1) و (1.2) كالاتي :

    (1.7)

    (1.8)

حيث تمثل المعادلة (1.7) تحويل احداثي الازاحة لموقع حدث من sʹ الى s وتمثل (1.8) تحويل احداثي الازاحة من s الى sʹ.

وبما ان محوري الاسناد بينهما حركة نسبية بسرعة ثابتة باتجاه الاحداثي x فان الاحداثيين الاخرين لا يتغير ان خلال عملية التحويل، أي أن :

     (1.9)

بقي لدين الان تحويل الزمن t و tʹ للحصول على معادلتي التحويل بعد الاستعانة بالمعادلتين (1.7) و (1.8).

نعوض عن x في المعادلة (1.8) بما يساويها في المعادلة (1.7) فيكون :

     (1.10)

وبالمثل يمكننا الثبات ان :

      (1.11)  

تمثل المعادلة (1.10) تحويل الزمن لحدث ما من محور الاسناد sʹ الى s، وتمثل المعادلة (1.11) تحويل الزمن من s الى sʹ تكتب الان تحويلات لورنس كالاتي