المحاور المختبرية ومحاور مركز الكتلة

تستخدم المحاور المختبرية للقياسات التجريبية وتستخدم محاور مركز الكتلة لتسهيل الحسابات النظرية. محاور مركز الكتلة هي محاور تكون نقطة اصلها مثبتة في مركز كتلة جسمين في حالة تصادم وهي محاور الاسناد التي تحمل الفتحة (ʹ) ويرمز لها بالرمز sʹ. اما المحاور المختبرية فهي محاور اسناد يرمز لها عادة بالرمزs. ومن الممكن التحول من محاور مركز الكتلة الى المحاور المختبرية او بالعكس.

الشكل (1.1) (a) المحاور المختبرية، (b) محاور مركز الكتلة.

الشكل (1.1a) يوضح تصادم جسمين الاول  كتلته m₁ يتحرك بسرعة ₁ باتجاه الاحداثي x الموجب والاخر= ساكن كتلته m₂. ويحدث هذا المحاور المختبرية s في المستوى .xy ينحرف الجسم  عن اتجاهه الاصلي بعد التصادم بزاوية ₁φ وينحرف الجسم = بزاوية ₂φ كما موضح في الشكل.

بتطبيق قانون حفظ الزخم والطاقة بالنسبة للاتجاهين المتعامدين x, y نحصل على :

                       قانون حفظ الزخم بالنسبة للإحداثي x

     (1.1)

                            قانون حفظ الزخم للإحداثي y

    (1.2)

                                            قانون حفظ الطاقة

     (1.3)

ويلاحظ هنا الكتل بقيت ثابتة دون تغيير قبل وبعد عملية التصادم اي اننا اعتمدنا على قوانين الميكانيك التقليدي غير النسبي. وعلى هذا الاساس فالسرع تكون واطئة مقارنة بسرعة الضوء اي ان سرعة الجسم c>>v ومن الممكن اذن تطبيق معادلات التحويل الخاصة بالسرع لغاليليو، حيث ان  يمثل زخم الجسم  قبل التصادم،pʹ₁ زخم الجسم   بعد التصادم وpʹ₂  زخم الجسم = بعد التصادم و Q الفقدان في الطاقة نتيجة التصادم. وتجدر الملاحظة الى اننا اخذنا الحالة العالمة للتصادم ولم نشر الى ان التصادم تام المرونة او غير مرن بالكامل.

لنفرض الان ان سرعتي الجسمين في محاور مركز الكتلة هما ₁, قبل التصادم وسرعتيهما بعد التصادم هما  ومن تعريف السرع النسبية على اعتبار ان مركز الكتلة يبقى ساكنا في محاور مركز الكتلة sʹ يحصل ان :

    (1.4)

     (1.5)

حيث ان  هي سرع الجسمين ومركز الكتلة على التوالي في المحاور المختبرية. وبما ان الهدف يبقى ساكنا حسب افتراضنا فان :

ان اي الهدف يتحرك نحو اليسار بسرعة مساوية في مقدارها لسرعة مركز الكتلة في المحاور المختبرية كما موضح في الشكل (1.1b).

ومن تعريف سرعة مركز الكتلة فان :

وعند تعويض هذه القبضة في (1.4) و(1.5) ينتج :

     (1.6)

     (1.7)

وبضرب طرفي المعادلة (1.6) بالكتلة m₁ وطرفي المعادلة (1.7) بالكتلة m₂ يحصل ان :

     (1.8)

اي ان الزخم الكلي للمنظومة قبل التصادم يساوي صفرا. ومن قانون حفظ الزخم يكون الزخم الكلي للمنظومة بعد التصادم صفرا ايضا.

    (1.9)

نستنتج مما تقدم ان الجسمين يقتربان من مركز الكتلة ثم يتصادمان ثم يبتعدان عنه باتجاهين متعاكسين حيث ان احد الجسمين وهو m₁ (الجسم الساقط) ينحرف عن مساره الاصلي قبل التصادم. اما موازنة الطاقة فتعطينا المعادلة التالية :

    (1.10)

ولكن من المعادلتين (1.8)، (1.9) لدينا :

اذن:              

وباستخدام هاتين العلاقتين يمكن حذف  في المعادلة (1.10) لتصبح :

    (1.11)

حيث ان  وتسمى الكتلة المختزلة.

من الممكن الان رسم مثلث السرعة للجسم الساقط وكما موضح في الشكل (1.2) حيث نجد بعد عملية التصادم ان  لاحظ العلاقة (1.4) المشابهة لها للجسم الساقط قبل عملية التصادم.

الشكل (1.2) مثلث السرع للجسم الساقط بعد عملية التصادم.

وبتحليل متجهات السرع  باتجاهين متعامدين نحصل على :

ومن هاتين العلاقتين نحصل على :

     (1.12)

حيث ان .

واذا اخذنا الجسم التالي فان :

  (1.13)

حيث ان .

ومن الجدير بالذكر ان عملية التصادم هذه درست على اساس ان جميع السرع واطئة مقارنة بسرعة الضوء وهكذا تبقى جميع الكتل ثابتة تقريبا خلال التصادم. في حالة التصادم المرن التام يكون Q=0، لا يوجد فقدان في الطاقة.

وهذا يعطي ₁λ القيمة الاتية :

اما اذا كانت m₂ >> m₁ اي ان الهدف كبير مقارنة بالجسم الساقط فان :

ومن العلاقة (1.12) نجد أن :

اي تتساوى الزاويتان للجسم الساقط في المحاور المختبرية ومحاور مركز الكتلة.

واذا كانت m₁ = m₂ فان :

أي أن زاوية انحراف الجسم الساقط بعد التصادم في المحاور المختبرية تساوي نصف زاوية الانحراف بعد التصادم في محاور مركز الكتلة.

وبالمثل فان زاوية انحراف الهدف في محاور مركز الكتلة تساوي (θ-π). وعليه تكون زاوية انحراف الهدف في المحاور المختبرية ₂φ مساوية الى :