المتجهات في فضاء البعد الثاني وفضاء البعد الثالث-طول المتجه (المعيار): العمليات الحسابية للمتجهات
المؤلف:
علي جاسم التميمي
المصدر:
مقدمة في الجبر الخطي
الجزء والصفحة:
145-149
6-3-2016
9126
طول المتجه (المعيار): العمليات الحسابية للمتجهات:
مبرهنة (1-1) :
لتكن u , v و w متجهات في فضاء 2- وفضاء 3- ، h ، k كميات ثابتة ، فإن الصيغ الآتية تكون متحققة.
البرهان:
نبرهن العلاقة (2) وتترك البقية كتمارين.
a.الطريقة الهندسية: نفرض أن w,u,v تمثل المتجهات QP , PQ و RS على التوالي [لاحظ الشكل (1-1)].
عليه فإن u + v = QS و v+ (u + w) = PS
كذلك v + u = PR و (v + u) + w = PS
لذا فإن v + (u + w) = (v + u) + w
شكل (1-1)
b.الطريقة الجبرية (التحليلية): نفرض أن المتجهات w , u , v مرسومة في فضاء -3 (بنفس الطريقة في الفضاء 2-). ولتكنv = (v1, v2, v3) و u = (u1, u2, u3)
إذن:
طول المتجه: ليكن v = (v1 , v2) متجه في فضاء 2- v = (v1 , v2 , v3) في فضاء 3-] فإن طول v (معيار v)، يكتب ||v||، ومن نظرية فيثاغورس:
شكل (1-2)
ملاحظة:
المتجه الذي طوله يساوي 1 يسمى متجه الوحدة.
إذا كانت النقطتان P = (v1 , v2, v3) و Q (u1 , u2 , u3) في فضاء 3- فإن المسافة بنهما هي طول المتجه PQ ويكتب:
شكل (1-3)
لاحظ أن PQ هو متجه حر حيث أن بدايته لا تقع على نقطة الأصل وعندما P تقع على نقطة الأصل 0 فيسمى بالمتجه المقيد وفي مثل هذه الحالة v1 = v2 = v3 = 0 وبالتعويض في (2) نحصل على:
لاحظ [الشكل b (1-2)].
مثال(1):
1. اوجد طول المتجه (v = (-1 , 3 ,2
2. أوجد المسافة PQ حيث P (3,1,-2) و Q (2,-1,1)
الحل:
1. طول المتجه v هو:
2. المسافة هي:
ملاحظة:
من تعريف حاصل ضرب kv، طول المتجه kv، هو:
أي ضرب طول v بالكمية |K| من المرات.
الاكثر قراءة في الجبر الخطي
اخر الاخبار
اخبار العتبة العباسية المقدسة
