سبق  وان تطرقنا الى التحويلات الخطية من Rⁿإلى R^m في هذا البند سنتعرف على التحويلات الخطية من الفضاء العام V إلى الفضاء العام W. ولهذا النوع من التحويلات تطبيقات مهمة في مختلف فروع الرياضيات والعلوم التطبيقية كالفيزياء والهندسة وغيرها.

تعريف (1-1):

الدالة T من فضاء المتجهات V إلى فضاء المتجهاتW ، تكتب T:V⟶W، يقال لها تحويلة خطية من v إلى w إذا تحققت الشروط الآتية:

(1) T(v+u)=T(v)+T(u)

(2) T(kv)=kT(v)

لكل u,v∊V ولكل k عدد ثابت.

عندما V = W فإن T تسمى عملية خطية على V.

مثال(1):

التحويلات الخطية التي سبق وان درسناها من Rⁿ إلى R^m هي تحويلات خطية وتحقق الشرطين . هذه التحويلات تسمى تحويلات المصفوفة.

مثال(2):

التطبيق T:V⟶W. المعرف T (v) = 0 لكل v∊V هو تحويلة خطية تسمى التحويلة الصفرية وذلك لأن:

مثال(3)

التطبيق I:V⟶W حيث V فضاء متجهات والمعرف بالشكل I(v) = v لكل v∊V هو تحويلة خطية تسمى العملية الخطية الأحادية وذلك لأن:

مثال(4):

ليكن V فضاء متجهات و k عدد ثابت، فإن الدالة المعرفة بالشكل

T(v) = kv لكل v∊V ، تحويلة خطية لأن

                                             شكل(1-1)

هذه التحويلة تسمى:

1. تمدد عندما K>1

2. انكماش عندما

مثال(5):

ليكن W فضاء جزئي ذات بعد منتهي من فضاء الضرب الداخلي V فإن المسقط العمودي T من V إلى W المعرف بالشكل T(v) = proj_wv لكل v∊V هو تحويلة خطية لاحظ الشكل (1-1) .

الحل:

نستطيع القول أنه إذا كان

                                                      S={w₁, w₂, …., w_k}

أساس عياري متعامد للفضاء W فإن T يمكن تعريفها بالشكل:

هذه الصيغة هي تحويلة خطية لأن:

2. بنفس الطريقة

مثال(6):

لتكن V فضاء متجهات بعدة ى و w₁, w₂, …, w_n} =S  } أساس V. خذ v∊V بحيث :  k₁, k₂, …., k_n) = (v)_s   هو متجه إحداثي للمتجه v نسبة لــ S.

لذا فإن  

فإذا عرفت T بالشكل: T:V⟶Rⁿ بحيث:

فإن T تحويلة.

الحل:

نفرض:

مثال(7):

مثال(8):

نفرضR⟶_n T:M دالة من مجموعة جميع المصفوفات ذات السعة n x n إلى مجموعة محدداتها والمعرفة:

ملاحظة:

يمكن تعميم شروط التعريف (1-1) بالشكل:

تعريف (1-2):

لتكن  تحويلات خطية فإن تركيبهما، يكتب T₂○T₁ هو دالة معرفة بالشكل:

                                                            شكل(1-2)

مبرهنة (1-3):

تركيب التحويلات الخطية هو تحويل خطي.

البرهان:

مثال(9):

ملاحظة:

يمكن تعميم تركيب التحويلات لأكثر من تحويلتان [لاحظ الشكل الهندسي (1-3) ].