الطاقة الحركية في ميكانيكا الكم

في ميكانيكا الكم يصبح الزخم الزاوي في المعادلة الاتية:

بالشكل:

...........(1)

حيث مؤثر operator الزخم الزاوي و مؤثر المسافة ويكون لدوار القمة المتماثل المسقط J_z على محور Z في نظام المختبر ثابت وكذلك المسقط J_z على محور التماثل للدوار ثابت ولذلك فان J²، J_z، وJ_z ثوابت الحركة والمؤثر يستبدل commute مع المؤثر والمؤثر وتملك المؤثرات الثلاثة دوال ذاتية مشتركة Ψ_J,K,M.

ويمكن التعبير عن مؤثرات مركبات الزتخم الزاوي J في نظام المختبر بالاحداثيات الكروية:

..............(2)

..........(3)

.........(4)

ولمربع المؤثر نحصل على:

...........(5)

اذ ان معادلات القيمة الذاتية للمؤثرات المستبدلة الثلاثة هي:

..........(6)

............(7)

..........(8)

حيث K العدد الكمي لمسقط الزخم الزاوي على محور تماثل الجزيئة وMh هو مسقط J على محور Z في نظام المختبر. ان حل المعادلة (6) هو التوافقيات الكروية Y_JM.

........(i)

وبادخال القيم الذاتية في معادلة (i) نحصل على الطاقة الحركية لدوار القيمة المتماثل المتطاول:

.............(9)

ومع الثوابت الدورانية:

...........(10)

نحصل على قيم الحد الطيفي الدورانية بوحدات cm^-1:

.........(11)

الشكل (1)

وتعطى الطاقة الدورانية لدوار القمة المتماثل المفلطح بالمعادلة:

...........(12)

وقيم الحد الطيفي تساوي:

............(13)

وفي شكل (1) مخطط مستويات الطاقة للدوار المتطاول والدوار المفلطح لقيم K مختلفة حيث تزداد طاقة الدوار المتطاول مع K وJ ثابت بينما طاقة الدوار المفلطح تقل مع زيادة K وJ ثابت وفي جدول (1) الثوابت الدورانية لبعض الجزيئات.

ان التشويه المركزي لدوار القمة المتماثل يعتمد على العدد الكمي للزخم الزاوي J وعلى العدد الكمي K ولان التشويه المركزي لا يعتمد على اتجاه دوران الجزيئة، مع اتجاه دوران عقارب الساعة او عكسه، فان التعبير عن طاقة الدوران في متوالية اسية في J وK تحوي اسس زوجية فقط ويمكن كتابة قيم الحد الطيفي لدوار القمة المتماثل الصلد بالشكل:

..........(14)

حيث ادخلت ثوابت التشويه الثلاثة D_JK, D_J , وD_K وهي اصغر كثيرا من B وC وتكون D_J دائما موجبة بينما D_JK قد تكون موجبة او سالبة اعتمادا على الجزيئة والتشويه المركزي يعتمد على ثوابت القوة للجزيئة لذلك فان قيم D التجريبية تعطينا معلومات عن جهد الجزيئة بالقرب من مواقع الاتزان.