المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
تنفيذ وتقييم خطة إعادة الهيكلة (إعداد خطة إعادة الهيكلة1)
2024-11-05
مـعاييـر تحـسيـن الإنـتاجـيـة
2024-11-05
نـسـب الإنـتاجـيـة والغـرض مـنها
2024-11-05
المـقيـاس الكـلـي للإنتاجـيـة
2024-11-05
الإدارة بـمؤشـرات الإنـتاجـيـة (مـبادئ الإنـتـاجـيـة)
2024-11-05
زكاة الفطرة
2024-11-05

Descartes, Sign Rule
10-12-2021
نقطة المنتصف Mid - Point
27-12-2015
حكم من صلى ظانا ثم ظهر الخطأ أثناء الصلاة أو بعدها
12-12-2015
ما هي الوسائل الكفيلة لبلوغ الهدف
8-12-2015
نظام البلمرة غير المتجانسة Heterogeneous
22-11-2017
آيات الله في خلق الشمس والقمر والنجوم‏
13-11-2015

Equidistributed Sequence  
  
1340   02:36 صباحاً   date: 26-10-2020
Author : Hardy, G. H. and Littlewood, J. E.
Book or Source : "Some Problems of Diophantine Approximation." Acta Math. 37
Page and Part : ...


Read More
Date: 18-10-2019 1530
Date: 13-1-2020 936
Date: 16-8-2020 620

Equidistributed Sequence

A sequence of real numbers {x_n} is equidistributed on an interval [a,b] if the probability of finding x_n in any subinterval is proportional to the subinterval length. The points of an equidistributed sequence form a dense set on the interval [a,b].

EquidistributedFracLn

However, dense sets need not necessarily be equidistributed. For example, {frac(lnn)}_n, where frac(x) is the fractional part, is dense in [0,1] but not equidistributed, as illustrated above for n=1 to 5000 (left) and n=1 to 10^4 (right)

Hardy and Littlewood (1914) proved that the sequence {frac(x^n)}_n, of power fractional parts is equidistributed for almost all real numbers x>1 (i.e., the exceptional set has Lebesgue measure zero). Exceptional numbers include the positive integers, the silver ratio 1+sqrt(2) (Finch 2003), and the golden ratio phi.

EquidistributedFracsEquidistributedHistograms

The top set of above plots show the values of {frac(kx)}_(k=0)^(10) for x equal to e, the Euler-Mascheroni constant gamma, the golden ratio phi, and pi. Similarly, the bottom set of above plots show a histogram of the distribution of {frac(kx)}_(k=0)^(10000) for these constants. Note that while most settle down to a uniform-appearing distribution, pi curiously appears nonuniform after 10000 iterations. Steinhaus (1999) remarks that the highly uniform distribution of frac(nphi) has its roots in the form of the continued fraction for phi.

Now consider the number of empty intervals in the distribution of {frac(kx)}_(k=0)^n in the intervals bounded by the intervals determined by 0, 1/n2/n, ..., (n-1)/n, 1 for n=1, 2, ..., summarized below for the constants previously considered.

r Sloane # empty intervals for n=1, 2, ...
e A036412 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 3, 1, 4, 4, 7, 5, ...
gamma A046157 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 3, 0, 3, 5, 3, ...
phi A036414 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 0, 2, 2, ...
pi A036416 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 7, 7, ...

The values of n for which no bins are left blank are given in the following table.

r Sloane n with no empty intervals
e A036413 1, 2, 3, 4, 6, 7, 32, 35, 39, 71, 465, 536, 1001, ...
gamma A046158 1, 2, 3, 5, 6, 7, 12, 19, 26, 97, 123, 149, 272, 395, ...
phi A036415 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 13, 16, 21, 34, 55, 89, 144, ...
pi A036417 1, 6, 7, 106, 112, 113, 33102, 33215, ...

REFERENCES:

Hardy, G. H. and Littlewood, J. E. "Some Problems of Diophantine Approximation." Acta Math. 37, 193-239, 1914.

Kuipers, L. and Niederreiter, H. Uniform Distribution of Sequences. New York: Wiley, 1974.

Pólya, G. and Szegö, G. Problems and Theorems in Analysis I. New York: Springer-Verlag, p. 88, 1972.

Sloane, N. J. A. Sequences A036412, A036413, A036414, A036415, A036416, A036417, A046157, and A046158 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Vardi, I. Computational Recreations in Mathematica. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 155-156, 1991.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.