المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية


Sphere Line Picking  
  
918   05:44 مساءً   date: 12-2-2020
Author : Sloane, N. J. A
Book or Source : Sequences A000265/M2222, A000918/M1599, and A084623 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."
Page and Part : ...


Read More
Date: 3-2-2020 947
Date: 15-11-2020 709
Date: 2-12-2020 607

Sphere Line Picking

Sphere line picking is the selection of pairs of points corresponding to vertices of a line segment with endpoints on the surface of a sphere. n random line segments can be picked on a unit sphere in the Wolfram Language using the function RandomPoint[Sphere[], {n, 2}].

Pick two points at random on a unit sphere. The first one can be placed at the north pole, i.e., assigned the coordinate (0, 0, 1), without loss of generality. The second point is then chosen at random using sphere point picking, and so can be assigned coordinates

x = sqrt(1-u^2)costheta

(1)

y = sqrt(1-u^2)sintheta

(2)

z = u

(3)

with u in [-1,1] and theta in [0,2pi). The distance l between first and second points is then

 l=sqrt(x^2+y^2+(z-1)^2)=sqrt(2-2u),

(4)

and solving for u gives

 u=1/2(2-l^2).

(5)

Now the probability function P_l for distance is then given by

 P_ldl=P_u|(partialu)/(partiall)|dl=1/2ldl

(6)

(Solomon 1978, p. 163), since P_u=1/2 and du/dl=-l. Here, l in [0,2].

SphereLines

Therefore, somewhat surprisingly, large distances are the most common, contrary to most people's intuition. A plot of 15 random lines is shown above. The raw moments are

(7)

giving the first few as

= 4/3

(8)

= 2

(9)

= (16)/5

(10)

= (16)/3

(11)

(OEIS A084623 and A000265). Values of n for which  are integers are therefore n=0, 2, 6, 14, 30, 62, 126, 254, 510, 1022, ... (OEIS A000918), which are precisely the values n=2^k-2.

The central moments are

mu = 4/3

(12)

mu_2 = 2/9

(13)

mu_3 = -8/(135)

(14)

mu_4 = (16)/(135),

(15)

so the variance, skewness and kurtosis excess are

sigma^2 = 2/9

(16)

gamma_1 = 4/5sqrt(2)

(17)

gamma_2 = -5/3

(18)

(Solomon 1978, p. 163).


REFERENCES:

Sloane, N. J. A. Sequences A000265/M2222, A000918/M1599, and A084623 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Solomon, H. Geometric Probability. Philadelphia, PA: SIAM, 1978.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.