المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
مسائل في زكاة الفطرة
2024-11-06
شروط الزكاة وما تجب فيه
2024-11-06
آفاق المستقبل في ضوء التحديات
2024-11-06
الروايات الفقهيّة من كتاب علي (عليه السلام) / حرمة الربا.
2024-11-06
تربية الماشية في ألمانيا
2024-11-06
أنواع الشهادة
2024-11-06


Cauchy Integral Formula  
  
1071   02:23 مساءً   date: 17-11-2018
Author : Krantz, S. G.
Book or Source : "The Cauchy Integral Theorem and Formula." §2.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser
Page and Part : ...


Read More
Date: 27-11-2018 935
Date: 1-11-2018 355
Date: 17-11-2018 324

Cauchy Integral Formula

CauchysIntegralFormula

Cauchy's integral formula states that

 f(z_0)=1/(2pii)∮_gamma(f(z)dz)/(z-z_0),

(1)

where the integral is a contour integral along the contour gamma enclosing the point z_0.

It can be derived by considering the contour integral

 ∮_gamma(f(z)dz)/(z-z_0),

(2)

defining a path gamma_r as an infinitesimal counterclockwise circle around the point z_0, and defining the path gamma_0 as an arbitrary loop with a cut line (on which the forward and reverse contributions cancel each other out) so as to go around z_0. The total path is then

 gamma=gamma_0+gamma_r,

(3)

so

 ∮_gamma(f(z)dz)/(z-z_0)=∮_(gamma_0)(f(z)dz)/(z-z_0)+∮_(gamma_r)(f(z)dz)/(z-z_0).

(4)

From the Cauchy integral theorem, the contour integral along any path not enclosing a pole is 0. Therefore, the first term in the above equation is 0 since gamma_0 does not enclose the pole, and we are left with

 ∮_gamma(f(z)dz)/(z-z_0)=∮_(gamma_r)(f(z)dz)/(z-z_0).

(5)

Now, let z=z_0+re^(itheta), so dz=ire^(itheta)dtheta. Then

∮_gamma(f(z)dz)/(z-z_0) = ∮_(gamma_r)(f(z_0+re^(itheta)))/(re^(itheta))ire^(itheta)dtheta

(6)

= ∮_(gamma_r)f(z_0+re^(itheta))idtheta.

(7)

But we are free to allow the radius r to shrink to 0, so

∮_gamma(f(z)dz)/(z-z_0) = lim_(r->0)∮_(gamma_r)f(z_0+re^(itheta))idtheta

(8)

= ∮_(gamma_r)f(z_0)idtheta

(9)

= if(z_0)∮_(gamma_r)dtheta

(10)

= 2piif(z_0),

(11)

giving (1).

If multiple loops are made around the point z_0, then equation (11) becomes

 n(gamma,z_0)f(z_0)=1/(2pii)∮_gamma(f(z)dz)/(z-z_0),

(12)

where n(gamma,z_0) is the contour winding number.

A similar formula holds for the derivatives of f(z),

= lim_(h->0)(f(z_0+h)-f(z_0))/h

(13)

= lim_(h->0)1/(2piih)[∮_gamma(f(z)dz)/(z-z_0-h)-∮_gamma(f(z)dz)/(z-z_0)]

(14)

= lim_(h->0)1/(2piih)∮_gamma(f(z)[(z-z_0)-(z-z_0-h)]dz)/((z-z_0-h)(z-z_0))

(15)

= lim_(h->0)1/(2piih)∮_gamma(hf(z)dz)/((z-z_0-h)(z-z_0))

(16)

= 1/(2pii)∮_gamma(f(z)dz)/((z-z_0)^2).

(17)

Iterating again,

(18)

Continuing the process and adding the contour winding number n,

 n(gamma,z_0)f^((r))(z_0)=(r!)/(2pii)∮_gamma(f(z)dz)/((z-z_0)^(r+1)).

(19)

 


REFERENCES:

Arfken, G. "Cauchy's Integral Formula." §6.4 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 371-376, 1985.

Kaplan, W. "Cauchy's Integral Formula." §9.9 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 598-599, 1991.

Knopp, K. "Cauchy's Integral Formulas." Ch. 5 in Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part I. New York: Dover, pp. 61-66, 1996.

Krantz, S. G. "The Cauchy Integral Theorem and Formula." §2.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 26-29, 1999.

Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 367-372, 1953.

Woods, F. S. "Cauchy's Theorem." §146 in Advanced Calculus: A Course Arranged with Special Reference to the Needs of Students of Applied Mathematics. Boston, MA: Ginn, pp. 352-353, 1926.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.