يهدف هذا البند إلى استنتاج بعض الصفات الأساسية للتحويلات الخطية العامة.

مبرهنة (1-1):

لتكنW⟶T :V  تحويلة خطية، فإن مجموعة جميع المتجهات في V التي صورة كل منها بواسطة T تساوي صفر تسمى نواة T وتكتب (kernel T) Ker T. اما مجموعة جميع المتجهات في W والتي هي عبارة عن صورة لعلى الأقل متجه واحد في V بواسطة T، تسمى مدى T، وتكتب     (Image T) Im(T).

يمكن تعريف كل من Ker (T) و Im (T) جبرياً على النحو الآتي:

مثال(1) :

لتكن T:R³⟶R³ تطبيق إسقاطي والمعرف بالشكل:

أوجد Ker T  و  Im T

الحل:

واضح ان النقاط على المحور z تكون صورتها بواسطة T هي المتجه الصفري 0 لذا فإن أما صورة T فتتكون من جميع النقاط في المستوى xy، أي،

مثال(2):

لتكن W⟶T:V تطبيق خطي فإن Ker (T) فضاء جزئي في V و Im (T) فضاء جزئي في W.

الحل:

بما أن T(0) = 0 فإن 0∊ker T (أي أن Ker T غير خالية).

نفرض . ∊ker T u,v إذن T(v) = 0  و  T(u) = 0. لذا فإن:

إذن Ker T فضاء جزئي في V.

وبنفس الطريقة شرط الضرب.

مثال(3):

لتكن T:R⁴⟶R³ تحويلة خطية معرفة بالشكل:

أوجد أساس وبعد صورة T.

الحل: نوجد صور المتجهات الطبيعية للفضاء R⁴.

عليه فإن متجهات صور T تنشأ (T) Im (صورة T). بوضع هذه المتجهات بشكل صفوف وبموجب الشكل المدرج الصفي المختزل نحصل على:                                                                                         

لذا فإن : {(1,1,1) , (0,1,2)} أساس Im (T).

عليه فإن بعد Im (T) هو 2.

مثال(4):

أوجد أساس وبعد Ker (T) للتحويلة الخطية في المثال 3.

الحل:

نفرض T(v) = 0 حيث v = (x,y,s,t)

أي:

 وبمقارنة مركبات المتجهات لطرفي المعادلة أعلاه نحصل على:

حيث t, s هي المتغيرات الحرة، لذا فإن بعد النواة هو 2.

وبإعطاء قيم لأعلى التعين لـ t, s كالآتي:

عندما s = -1  و  1= 0 نحصل على الحل: (2, 1,-1,0).

وعندما s = 0  و  t = 1 نحصل على الحل: (1,2,0,1).

لذا فإن: {(2,1,-1,0) , (1,2,0,1)} هو أساس Ker (T)

لقد عرفنا في البند رتبة المصفوفة بأنه بعد فضاء أعمدتها وصفرية المصفوفة بأنها بعد فضائها الصفري. سنحاول الآن تعميم هذه التعاريف على التحويلات الخطية العامة.

تعريف (1-2):

لتكن W⟶T:V تحويلة خطية فإن:

1. بعد مدى T يقال له رتبة T ويكتب rank (T).

2. بعد نواة T يقال له صفرية T  ويكتب null (T).

مبرهنة (1-2):

إذا كانت A مصفوفة سعتها m x n  و  T_A:Rⁿ⟶R^m مضروبة A فإن:

1. صفرية (T_A) = صفرية (A).

2. رتبة (T_A) = رتبة (A).

البرهان:

لما كانت A سعتها m x n  و T_A:Rⁿ⟶R^m مضروبة A وبموجب المناقشات في الفصول السابقة فإن نواة T_A هي فضاء A الصفري.

ومدى T_A هو فضاء أعمدة A.

مثال(5):

لتكن T:R⁴⟶R⁴ مضروبة A. أوجد رتبة وصفرية T_A

حيث:

الحل:

من المثال 8 في (رتبه المصفوفه) وجدنا أن رتبة A هي 3 وصفرية A هي 1. لهذا وبموجب مبرهنة (1-3) نحصل على

رتبة T_A هي 3 وصفرية T_A هي 1.

مبرهنة (1-4):

لتكن W⟶T:V تحويلة خطية من فضاء المتجهات الذي بعده n إلى فضاء المتجهات W فإن:

(1) .......................................... رتبة T + صفرية n = T

أو:

                                                          N =rank (T) + null (T)

أو:

                                                بعد مدى T + بعد نواة n = T

مثال(6):

من الأمثلة 3 و 4 وجدنا أن بعد مدى T هو 2 وبعد نواة T هو 2 وبموجب مبرهنة (1-4) نجد أن:

رتبة T + صفرية 4 = 2+2 = T وهذه تساوي بعد منطلق T.

مثال(7):

من المثال(1) وجدنا ان بعد مدى T هو 1 وبعد نواتها هو 2 لذا فإن:

2+1 = 3 وهو عبارة عن بعد منطلق T.

أي أن:

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

المجمع العلمي يقيم برنامجًا قرآنيًّا رمضانيًّا في جامعة الكوفة

الحلقة 21 من جائزة العميد القرآنية تشهد تأهل القارئ محمد حسن زاده من أفغانستان إلى المرحلة النهائية

موكب أهالي كربلاء يحيي ذكرى شهادة الإمام علي (عليه السلام) عند مرقده الطاهر

لليوم الثالث.. شعبة الخطابة تنظم مجالس العزاء لإحياء ذكرى شهادة الإمام علي (عليه السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

تأثير اللياقة البدنية على الدماغ

تجربة سريرية تظهر فوائد اللوز للمصابين بالسمنة

اكتشاف طريقة غير متوقعة لتقليل خطر الإصابة بالسكري

خمسة مؤشرات صحية مهملة قد تنقذ حياتك

المزيد

الآخبار التكنلوجية

علماء الجيولوجيا يفكون لغز الصدع العملاق تحت الماء في المحيط الأطلسي

تحذير جديد: الاحترار العالمي يتسارع وقد نكسر حاجز 1.5 درجة قبل 2030

الصين تكشف عن ألياف كربون تفوق قوة الفولاذ بـ10 مرات

الجهاز المناعي يظهر دورا غير متوقع في صحة العظام

المزيد

مواضيع ذات صلة

فضاء المتجهات الإقليدي-تمارين محلولة

فضاء المتجهات الإقليدي-تمارين محلولة

فضاء المتجهات الإقليدي-الفضاء الاقليدي النوني

فضاء المتجهات العام- فضاء المتجهات الحقيقي

فضاء المتجهات العام-رتبة المصفوفات بعد الفضاء الصفري

فضاء المتجهات العام-فضاء الصفوف وفضاء الأعمدة والفضاء الصفري

فضاء المتجهات العام- الأساس والبعد

فضاء المتجهات العام-الفضاءات الجزئية

فضاء الضرب الداخلي-الأساسات المتعامدة طريقة كرام ــ شمت

فضاء الضرب الداخلي-الضرب الداخلي

فضاء الضرب الداخلي-المصفوفات المتعامدة، تبديل الأساسات

فضاء الضرب الداخلي-الزوايا والتعامد في فضاء الضرب الداخلي