الحركة في منحني

في هذا النوع من الحركة تكون سرعة الجسم عند أي نقطة على المسار باتجاه مماس المسار عند تلك النقطة . وبما ان اتجاه السرعة يتغير من نقطة إلى اخرى على المسار ، فإن سرعة الجسم تكون متغيرة حتى ولو كانت ثابتة في المقدار.

‏يبن الشكل (1) دقيقة مادية تتحرك على مسار منحن سرعتها عند A هي V₁ وسرعتها عند النقطة B  هي V₂ . وعند إيجاد (V) ، فإننا نزيح المتجه V₂ موازيا لنفسه بحيث تنطبق نقطة بدايته V₁ على نقطة بداية (V) ، ثم نكمل المثلث لإيجاد (V‏) . وحيث ان الزمن الذي احتاجته الدقيقة في الحركة من (A‏) إلى (B‏) هو (t)، فإن متوسط تسارع الدقيقة في المسار المنحني هو ((a_av حيث :

................(1)

الشكل (1)

وهذا التسارع  دائما يشير إلى مركز المسار المنحني ؛ ولذلك يطلق عليه اسم التسارع المركزي Centripetal" " أي باتجاه المركز، ويرمز له بالرمز (a_N) .

‏ولو افترضنا أن النقطة (B) أصبحت قريبة جدا من (A) بحيث تؤول t)) إلى الصفر، فان (v) تكون باتجاه السرعة (v₁) عند النقطة (A) ؛ وعليه سيكون التسارع باتجاه السرعة (v₁) ، أي ان التسارع يكون مماسا للمسار عند السرعة اللحظية ؛ لذلك ، يسمى هذا التسارع بالتسارع المماسي (ar) . إذن متوسط التسارع الكلي للجسم الذي يسير في منحنى هو :

                              (2) …………         a=a_N+a_r

‏وعليه ، فإن التسارع الكلي للجسيم الذي يسير في منحنى (a‏)، لا يكون مماسا للمسار ولا عموميا على المماس للمسار ، بل باتجاه محصلة التسارعين (a_T , a_N) ‏وعليه نستطيع ان نثبت الحقيقتين التاليتين :

1- التغير في مقدار السرعة يؤيد إلى التسارع المماسي .

2- التغير في اتجاه السرعة يؤدي إلى التسارع المركزي aN .

الشكل (2)

ويمكن إثبات أن كلا من التسارع المركزي والتسارع المماسي يعطيان بالمعادلتين التاليتين :

............(أ3)

.(ب3)............

حيث (v) هي السرعة الثابتة للجسم على المنحنى ، (R) هي نصف قطر المسار المنحنى فإذا كانت السرعة ثابتة من حيث المقدار ، فإن :

أي انه لا يوجد تسارع مماسي ، في حين انه اذا كانت الحركة خطية (أي في خط مستقيم) فإن   R  أي أن a_N=0 وبالتالي لا يوجد تسارع مركزي .