المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر

إستصحاب الحكم المعلق
23-8-2016
معنى كلمة توب‌
20-1-2016
المتطلبات البيئية لأشجار الكاكي
3-1-2016
Hydrogen Bonding in carboxylic acids
11-7-2018
خطبة امير المؤمنين في الكوفة
7-02-2015
تحضير قالب المواصفة ASTM E 285-80
2024-04-29

Simplicial Homology Groups-The Chain Groups of a Simplicial Complex  
  
1180   10:40 صباحاً   date: 25-6-2017
Author : David R. Wilkins
Book or Source : Algebraic Topology
Page and Part : ...


Read More
Date: 6-5-2021 1309
Date: 12-6-2021 1363
Date: 17-5-2021 1981

Let K be a simplicial complex. For each non-negative integer q, let ∆q(K)  be the additive group consisting of all formal sums of the form

where n1, n2, . . . , ns are integers and vr0, vr1, . . . , vrq are (not necessarily distinct) vertices of K that span a simplex of K for r = 1, 2, . . . , s. (In more formal language, the group ∆q(K) is the free Abelian group generated by the set of all (q + 1)-tuples of the form (v0, v1, . . . , vq), where v0, v1, . . . , vq span a simplex of K.)

We recall some basic facts concerning permutations. A permutation of a set S is a bijection mapping S onto itself. The set of all permutations of some set S is a group; the group multiplication corresponds to composition of permutations. A transposition is a permutation of a set S which interchanges two elements of S, leaving the remaining elements of the set fixed. If S is finite and has more than one element then any permutation of S can be expressed as a product of transpositions. In particular any permutation of the set {0, 1, . . . , q} can be expressed as a product of transpositions (j −1, j)  that interchange j − 1 and j for some j.

Associated to any permutation π of a finite set S is a number ℰπ, known as the parity or signature of the permutation, which can take on the values ±1.

If π can be expressed as the product of an even number of transpositions,  then ℰπ = +1; if π can be expressed as the product of an odd number of transpositions then ℰπ = −1. The function π → π is a homomorphism from the group of permutations of a finite set S to the multiplicative group {+1, −1} (i.e., ℰπρ = ℰπρ for all permutations π and ρ of the set S). Note in particular that the parity of any transposition is −1.

Definition The qth chain group Cq(K) of the simplicial complex K is de fined to be the quotient group ∆q(K)/∆0q (K), where ∆0q (K) is the sub group of ∆q(K) generated by elements of the form (v0, v1, . . . , vq) where v0, v1, . . . , vq are not all distinct, and by elements of the form

                              (vπ(0), vπ(1), . . . , vπ(q)) − ℰπ(v0, v1, . . . , vq)

where π is some permutation of {0, 1, . . . , q} with parity ℰπ. For convenience,  we define Cq(K) = {0} when q < 0 or q > dim K, where dim K is the dimension of the simplicial complex K. An element of the chain group Cq(K)  is referred to as q-chain of the simplicial complex K.

We denote by 〈v0, v1, . . . , vq〉the element ∆0q (K) + (v0, v1, . . . , vq) of Cq(K) corresponding to (v0, v1, . . . , vq). The following results follow immediately from the definition of Cq(K).

Lemma 1.1 Let v0, v1, . . . , vq be vertices of a simplicial complex K that span a simplex of K. Then

• 〈v0, v1, . . . , vq〉 = 0 if v0, v1, . . . , vq are not all distinct,

• 〈vπ(0), vπ(1), . . . , vπ(q)〉 = ℰπ〈v0, v1, . . . , vq〉 for any permutation π of the set {0, 1, . . . , q}.

Example If v0 and v1 are the endpoints of some line segment then 〈v0, v1〉 = −〈v1, v0〉.

If v0, v1 and v2 are the vertices of a triangle in some Euclidean space then

〈v0, v1, v2〉= 〈v1, v2, v0〉 = 〈v2, v0, v1〉 = −〈v2, v1, v0

                     = −〈v0, v2, v1〉= −〈v1, v0, v2〉.

Definition An oriented q-simplex is an element of the chain group Cq(K) of the form ±〈v0, v1, . . . , vq〉, where v0, v1, . . . , vq are distinct and span a simplex of K.

An oriented simplex of K can be thought of as consisting of a simplex of K (namely the simplex spanned by the prescribed vertices), together with one of two possible ‘orientations’ on that simplex. Any ordering of the vertices determines an orientation of the simplex; any even permutation of the ordering of the vertices preserves the orientation on the simplex, whereas any odd permutation of this ordering reverses orientation.

Any q-chain of a simplicial complex K can be expressed as a sum of the form

                   n1σ1 + n2σ2 + · · · + nsσs

where n1, n2, . . . , ns are integers and σ1, σ2, . . . , σs are oriented q-simplices of K. If we reverse the orientation on one of these simplices σi then this reverses the sign of the corresponding coefficient ni . If σ1, σ2, . . . , σs represent distinct simplices of K then the coefficients n1, n2, . . . , ns are uniquely determined.

Example Let v0, v1 and v2 be the vertices of a triangle in some Euclidean space. Let K be the simplicial complex consisting of this triangle, together with its edges and vertices. Every 0-chain of K can be expressed uniquely in the form

                             n0〈v0〉 + n1〈v1〉 + n2〈v2

for some n0, n1, n2 ∈ Z. Similarly any 1-chain of K can be expressed uniquely in the form

              m0〈v1, v2〉 + m1〈v2, v0〉 + m2〈v0, v1

for some m0, m1, m2 ∈ Z, and any 2-chain of K can be expressed uniquely as n〈v0, v1, v2〉 for some integer n

Lemma 1.2 Let K be a simplicial complex, and let A be an additive group.

Suppose that, to each (q + 1)-tuple (v0, v1, . . . , vq) of vertices spanning a simplex of K, there corresponds an element α(v0, v1, . . . , vq) of A, where

• α(v0, v1, . . . , vq) = 0 unless v0, v1, . . . , vq are all distinct,

• α(v0, v1, . . . , vq) changes sign on interchanging any two adjacent vertices vj−1 and vj .

Then there exists a well-defined homomorphism from Cq(K) to A which sends 〈v0, v1, . . . , vq〉 to α(v0, v1, . . . , vq) whenever v0, v1, . . . , vq span a simplex of K. This homomorphism is uniquely determined.

Proof The given function defined on (q + 1)-tuples of vertices of K extends to a well-defined homomorphism α: ∆q(K) → A given by

for all permutations π of {0, 1, . . . , q}, since the permutation π can be ex pressed as a product of transpositions (j − 1, j) that interchange j − 1 with j for some j and leave the rest of the set fixed, and the parity επ of π is given by επ = +1 when the number of such transpositions is even, and by επ = −1 when the number of such transpositions is odd. Thus the generators of ∆0q  (K) are contained in ker α, and hence ∆0q (K) ⊂ ker α. The required homomorphism α˜: Cq(K) → A is then defined by the formula

 

 

 

 

 




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.