القيمة العددية لضرب المتجهات (The Scalar Product of Vectors)

أن الشغل المنجز من قبل قوة ثابتة يساوي حاصل ضرب محصلة القوى باتجاه الإزاحة في الإزاحة حيث:

 W = F cosθ × S

وحيث أن القوة هي مركبة متجهة وأن الإزاحة هي كمية متجهة أيضاً ولذلك يمكن القول أن الشغل هو حاصل ضرب متجه القوة في متجه الإزاحة وكما يلي:

W = F.S = F.S.cosθ

ويمكن أن نعمم العلاقة كحالة عامة تسوى ضرب المتجهات حيث يمكن القول أن القيمة العددية لحاصل ضرب متجهين تساوي حاصل ضرب قيمتهما في جيب تمام الزاوية المحصورة بينهما.

الشكل (1-1) يبين المتجهين A ، B والزاوية المحصورة بينهما θ حيث أن B cos θ يمثل مسقط المتجه B على المتجه A.

الشكل (1-1)

ويمكن تعريف القانون السابق لقيمة حاصل ضرب متجهين على أنه يساوي حاصل ضرب قيمة المتجه A في مسقط المتجه B. ومن الميزات المهمة لضرب المتجهات ما يلي:

1- أن حاصل ضرب المتجهات تبادلي كما يلي:

A.B = B.A

2- يمكن توزيع ضرب المتجهات كما يلي:

A. (B+C) = A.B + A.C

3- إذا كان A عمودياً على B فإن حاصل ضربهما يساوي صفراً، أي أن:

A.B = 0

حيث الزاوية (θ) المحصورة بينهما تساوي 90^o وأن COS 90^o = 0.

4- إذا كان حاصل ضرب متجهان يساوي صفراً فذاك يعني إما:

ــ أن يكون المتجهات متعامدان.

ــ أن تكون قيمة إحداهما صفراً.

5- إذا كان أحد المتجهان يعاكس الآخر فإن:

 A.B = - AB

حيث أن الزاوية 180^o = θ ، وأن COS180^o = -1

6- إذا كان المتجهان في نفس الاتجاه فإن:

A.B = AB