المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
{افان مات او قتل انقلبتم على اعقابكم}
2024-11-24
العبرة من السابقين
2024-11-24
تدارك الذنوب
2024-11-24
الإصرار على الذنب
2024-11-24
معنى قوله تعالى زين للناس حب الشهوات من النساء
2024-11-24
مسألتان في طلب المغفرة من الله
2024-11-24

قصة قارون
10-10-2014
النسخ غير المرونة
15-02-2015
طرق معرفة الاصول الاعتقادية
12-08-2015
الانحلال Dissolving
18-10-2016
علاج سوء الخلق
6-10-2016
طبقات الثنائية الهيدروكسيد Layered Double Hydroxides
2024-06-23

​More About Sets  
  
1882   03:01 مساءاً   date: 2-2-2016
Author : W.D. Wallis
Book or Source : Mathematics in the Real World
Page and Part : 7-9


Read More
Date: 11-1-2022 724
Date: 11-1-2022 997
Date: 9-1-2022 850

We defined the notation s ∈ S to mean “s belongs to S” or “s is an element of S.” If S and T are two sets, we shall write T ⊆ S to mean that every member of T is also a member of S. In other words, “If s is any element of T then s is a member of S,” or

                                        s ∈ T ⇒ s ∈ S,

where ⇒ is shorthand for implies. When T ⊆ S we say T is subset of S. Sets S and T are equal, S = T, if and only if S ⊆ T and T ⊆ S are both true. If necessary, we can represent the situation where T is a subset of S but S is not equal to T—there is at least one member of S that is not a member of T—by writing S ⊂ T, and we call T a proper subset of S.

Suppose R ⊆ S and S ⊆ T are both true. Any member of R will also be a member of S, which means it is a member of T. So R ⊆ T. This sort of rule is called a transitive law.

It is important not to confuse the two symbols ∈ and ⊆, or their meanings:

Sample Problem 1.1 Suppose S = {0,1}. Which of the following are true:

(i) 0 ∈ S, {0} ∈ S, 0 ⊂ S,

(ii) {0} ⊂ S, 0 ⊆ S, {0} ⊆ S, S ∈ S,

(iii) S ⊂ S, S ⊆ S?

Solution.

(i) 0 is a member of S, but {0} and S are not, so 0 ∈ S is true but {0} ∈ S, and S ∈ S are false.

(ii) As 0 is a member of S, {0} ⊂ S and {0} ⊆ S are true. But 0 is not a set ofelements of S, so 0 ⊂ S and 0 ⊆ S are false.

(iii) S ⊆ S is true, but S ⊂ S would imply S ≠S, so it is false.

Among the standard number sets, many subset relationships exist. Every natural number is an integer, every integer is a rational number, and every rational number is a real number, so N ⊆ Z, Z ⊆ Q, Q ⊆ R. We could write all these relationships down in one expression:

                                                           N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R.

In fact, we know that no two of these sets are equal, so we could write

                                                                N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Given sets S and T, we define two operations: the union of S and T is the set

                                                   S∪T = {x : x ∈ S or x ∈ T (or both)};  

the intersection of S and T is the set

                                              S∩T = {x : x ∈ S and x ∈ T}.

As a kind of opposite to the union, the notation ST denotes the set of all members of S that are not in T.

There is also a special relationship between subsets and the other operations. If S is any subset of T, then S∩T = S and S∪T = T.

Suppose two sets, S and T, have no common element. Then S and T are called disjoint. In that case, S∩T is a set with no elements! There is no problem with the concept of such a set. We shall define the empty set, also called the null set, to be a set that has no elements. This set is denoted 0/. The set 0/ is unique and is a subset of every other set. Then “S and T are disjoint” means S∩T = 0/.

Given sets S and T, the notation ST is used for the set formed by deleting from S all the members that are also in T. Clearly ST is the same as S(S∩T). If S and T are disjoint, then ST = S, while SS = S.

Finally, we can combine two sets S and T to form a new set called the Cartesian product S×T. This consists of all the ordered pairs with the first element a member of S and the second a member of T. For example, If S = {1,3} and T = {2,3,4} then

                                      S×T = {(1,2),(1,3),(1,4),(3,2),(3,3),(3,4)}.

In the following example, remember that a perfect square means a number of the form n2, where n is an integer.

Sample Problem 1.2 In each case, are the sets S and T disjoint? If not, what is their intersection?

(i) S is the set of perfect squares, T = RR+.

(ii) S is the set of all multiples of 5, T is the set of all multiples of 7. Solution.

(i) They are not disjoint, because 0 is a perfect square (0 = 02);  S∩T = {0}.

(ii) They are not disjoint. S∩T is the set of all multiples of 35.

 

 

 

 

 




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.