المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر

الإثبات والحكم في دعوى الاستحقاق الفرعية.
30-11-2016
Bidentate Ligands
5-3-2019
الانف الإلكتروني Electronic Nose
28-2-2018
حسبي حسبي !
8-12-2017
إلقاء الكلمة القصيرة التي تحث على الفعل
31-12-2017
غَيرة الرجل على أهله، بها يتحصن البيت الأُسري بالعفّة
2024-08-11

Lobatto Quadrature  
  
723   08:31 مساءً   date: 7-12-2021
Author : Abramowitz, M. and Stegun, I. A.
Book or Source : Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover
Page and Part : ...


Read More
Date: 5-12-2021 373
Date: 14-12-2021 839
Date: 12-12-2021 673

Lobatto Quadrature

Also called Radau quadrature (Chandrasekhar 1960). A Gaussian quadrature with weighting function W(x)=1 in which the endpoints of the interval [-1,1] are included in a total of n abscissas, giving r=n-2 free abscissas. Abscissas are symmetrical about the origin, and the general formula is

 int_(-1)^1f(x)dx=w_1f(-1)+w_nf(1)+sum_(i=2)^(n-1)w_if(x_i).

(1)

The free abscissas x_i for i=2, ..., n-1 are the roots of the polynomial , where P(x) is a Legendre polynomial. The weights of the free abscissas are

w_i =

(2)

= 2/(n(n-1)[P_(n-1)(x_i)]^2),

(3)

and of the endpoints are

 w_(1,n)=2/(n(n-1)).

(4)

The error term is given by

 E=-(n(n-1)^32^(2n-1)[(n-2)!]^4)/((2n-1)[(2n-2)!]^3)f^((2n-2))(xi),

(5)

for xi in (-1,1). Beyer (1987) gives a table of parameters up to n=11 and Chandrasekhar (1960) up to n=9 (although Chandrasekhar's mu_(3,4) for m=5 is incorrect).

n x_i x_i w_i w_i
3 0 0.00000 4/3 1.333333
  +/-1 +/-1.00000 1/3 0.333333
4 +/-1/5sqrt(5) +/-0.447214 5/6 0.833333
  +/-1 +/-1.000000 1/6 0.166667
5 0 0.000000 (32)/(45) 0.711111
  +/-1/7sqrt(21) +/-0.654654 (49)/(90) 0.544444
  +/-1 +/-1.000000 1/(10) 0.100000
6 sqrt(1/(21)(7-2sqrt(7))) +/-0.285232 1/(30)(14+sqrt(7)) 0.554858
  sqrt(1/(21)(7+2sqrt(7))) +/-0.765055 1/(30)(14-sqrt(7)) 0.378475
  +/-1 +/-1.000000 1/(15) 0.066667

REFERENCES:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 888-890, 1972.

Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 465, 1987.

Chandrasekhar, S. Radiative Transfer. New York: Dover, pp. 63-64, 1960.

Hildebrand, F. B. Introduction to Numerical Analysis. New York: McGraw-Hill, pp. 343-345, 1956.

Hunter, D. and Nikolov, G. "On the Error Term of Symmetric Gauss-Lobatto Quadrature Formulae for Analytic Functions." Math. Comput. 69, 269-282, 2000.

Ueberhuber, C. W. Numerical Computation 2: Methods, Software, and Analysis. Berlin: Springer-Verlag, p. 105, 1997.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.