معادلة خط المستقيم المماس للمنحنى : Equations Of Tangent Lines

نذكر أننا استخدمنا سابقاً معادلة المستقيم المماس للمنحنى في النقطة (x₀ , y₀) الذي مقدار تغايره m والتي أشرنا إليها بالصيغة : y = m (x=x₀) + y₀ ، وبالصيغة العامة، وبعدما تعرفنا عن المشتق يمكن إعادة صياغة الصيغة كما يلي:

مثال (1) : أوجد معادلة المماس للمنحنى y = f(x) = x² في الفاصلة x = 3.

الحل:

بالاستعانة بمفهوم المشتق ينتج لدينا   وببساطة ينتج لدينا عند الفاصلة x = 3 ، ومنه نحصل y = 3² = 9 ، وعليه نحصل على المعادلة المماسية التالية :

ملاحظات :

1- إذا كانت الدالة f قابلة للاشتقاق في الفترة (a,b). إن المشتق f(x) (derivative) يأخذ اتجاهاً حسب قيمة وإشارة المشتق ، وللمنحنى اتجاهات (obtaining Graphs) كما توضحه الأشكال التالية :

شكل (1-1)

2- إن تتبع تغير قيم وإشارة الدالة f في الفترة (a,b) يمكن توضيحه كما في الشكل :

شكل (2-1)

ولمعرفة مقدار التغاير ونوعه لمنحنى الدالة، نحتاج إلى دراسة المشتق، ونقاط انعدامه (وذلك بجعل دالة المشتق معدومة) f"(x) = 0 ، وتسهل دراسة إشارة المشتق لمختلف نقاط الفترة المستهدفة (x, f(x)).

مثال (1) : لتكن الدالة f(x) = x³ – 2x.

مثال الدالة ، ثم ادرس قيمة التغاير بين الفواصل : x = 2+h , x = 2

h = 0.1   -1

h = 0.01   -2

h = 0.001  -3

4- عين وادرس القيمة  المشتقة f '(2).

الحل: لتوضح الأفكار ، نبدأ بتمثيل منحنى الدالة وذلك :

شكل (3-1)

لدينا وببساطة القيمة f(x) = 2³ – 2(2) = 4 ، وأما قيمة التغاير بين الفواصل المستهدفة فهي:

1- إن قيمة التغاير عندما h = 0.1.

2- إن قيمة التغاير عندما h = 0.01

3- إن قيمة التغاير عندما h = 0.001

4- القيمة المشتقة f ' (2)  يمكن حسابها كما يلي:

مثال (2) : أوجد مشتقة الدوال التالية:

الحل :

شكل (4-1)

يتضح ان الدالة تقبل الاشتقاق في كل الفترة الحقيقية IR ما عدا x = 1 التي ندرسها كحالة خاصة، وذلك :

الحالة الأولى :   لدينا قيمة الدالة h(x) = x+ (x-1) وعليه تصبح قيمة المشتقة.

الحالة الثانية : لدينا قيمة الدالة h(x) = x- (x-1) ، وعليه تصبح قيمة المشتقة :

وعليه تصبح قيمة المشتقة في الحالة النهائية كما يلي:

أما في حالة x =1 ، فإن مشتق الدالة غير موجود وهو ما يؤكد أن h' (1) غير موجود.

مثال (3) : أوجد مشتقة الدالة التالية :

الحل :

لدينا الدالة f(x) = x^1/3 ومنه تصبح قيمة المشتقة.

مثال (4) : أوجد مشتقة الدالة التالية : عند  الفاصلة t = 1.

الحل :

عند الفاصلة t = 1 ينتج لدينا :

ملاحظة :

مشتق الدالة الزوجية هي دالة فردية. ومشتق الدالة الفردية هي دالة زوجية.

البرهان : يمكن التأكد من ذلك من خلال الصيغة الرياضية التالية :

نقول عن الدالة f إنها دالة زوجية إذا كان :  f(-x) = f(x)

نقول عن الدالة g إنها دالة  زوجية إذا كان :  g(-x) = - g(x)

إذا فرضنا أن الدالة f زوجية فإن دالة المشتقة تصبح :

إذا فرضنا ان الدالة g فردية ، فإن دالة المشتقة تصبح :

وهو ما يؤكد ان المشتقة للدالة g هي دالة زوجية ، وهو ما تؤكده الصيغة الرياضية التالية :

نتيجة مهمة : إن الاشتقاق هو قوى رياضية اشمل من الاستمرارية ، أي أنه إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق في المجال، فتكون مستمرة على المجال

(Differentiability Implies Continuity).

البرهان : نبرهن أن الدالة القابلة للاشتقاق أنها مستمرة عند هذه الفاصلة (x = a) وذلك أن نبرهن : وبما أن الدالة قابلة للاشتقاق عند الفاصلة x = a نحصل :

وهذه الصيغة الأخيرة تبين أن : وهو المطلوب . لكن العملية العكسية غير صحيحة، وهو ما يؤكده المثال التالي:

مثال (1) : لتكن لدينا الدالة f(x) = |x| المعرفة على مجموعة الأعداد الحقيقية IR. تأكد أن الدالة f(x) على كل مجموعة الأعداد الحقيقية ، ولكنها غير قابلة للاشتقاق عند الفاصلة X = 0؟

الحل:

لتوضيح العلاقة التي تربط الاشتقاق والاستمرارية برسم الدالة : 

شكل (5-1)

إن قيم الدالة f(x) يمكن تصنيفها كما يلي:

نعرف أنه إذا كان ، فإن f(x) = x ، وهو ما يؤكد أن الدالة مستمرة، وأيضاً هي قابلة للاشتقاق على كل الفترة  وأن المشتقة تساوي واحد f'(x) = 1.

ونعرف ايضاً أنه إذا كان فإن f(x) = -x ، وهو ما يؤكد أن الدالة مستمرة، وأيضاً قابلة للاشتقاق على كل الفترة  وأن المشتقة تساوي سالب واحد    f'(x) = -1.

ببساطة يمكن التأكد ان :

وهو ما يؤكد أن الدالة مستمرة عند الفاصلة x = 0.

وأما الاشتقاق فلدينا :

وهذا ما يؤكد أن المشتقة غير موجودة عند x = 0 . أي أن f ' (0) غير موجودة.

ملاحظة : يحق لنا إذن التساؤل أين تكون الدالة غير  قابلة للاشتقاق           (where Functions Aren't Differentiable) ، ويتضح من المنحنى التالي أن الدالة غير مستمرة عند x = a ، وأيضاً هي مستمرة عند x = b ، وتقبل الاشتقاق عند x = b ايضاً. أما في الفاصلة x = c ،  ولكنها لا تقبل الاشتقاق عندها.

شكل (6-1)

مثال (1) : مثل ببان الدالة y = f(x) = x^1/3 ثم تأكد أن مشتقة هذه الدالة غير موجودة في المبدأ (x = 0).​

الحل :

شكل (7-1)

من خلال التعريف يتضح أن غير موجودة ، رغم ان الدالة هي مستمرة في هذه الفاصلة (x = 0).

مثال (2) : مثل بيان الدالة ، ثم  ادرس إمكانية وجود المشتقة في الفاصلة x = -3  ،  وx = 1.

الحل :

يتضح من خلال شكل الدالة انها تقبل عدة صيغ مرتبطة بقيم المتغير ولمعرفة شكلها العام نقوم بدراسة إشارة الدالة على مستوى كل الأعداد الحقيقية، وذلك :

ومن الجدول يمكن إعادة صيغة الدالة كما يلي:

يتضح أن الدالة مستمرة في كل الفترة الحقيقية، لأنها مستمرة ايضاً في الفواصل x = -3 ، x = 1 وذلك لأن :

وبنفس الأسلوب عند x = 1 ، يتضح أيضاً ذلك من خلال منحنى الدالة الموضح في الشكل التالي:

شكل (8-1)

من خلال تعريف المشتق لدينا :

ويتضح من خلال صيغة المشتق ان الدالة تقبل الاشتقاق على طول المجموعة وعلى الفترة (-3 , 1) لدينا صيغة المشتقة كما يلي:

ويتضح من خلال الصيغة أن المشتق موجود ، وعليه يبقى البحث عن المشتق في الفواصل: عند الفاصلة x = -3 لدينا :

يتضح ان المشتقة غير موجودة عند x = -3 ، أي أن f'(x) غير موجودة. بنفس الأسلوب يمكن التأكد ان الدالة مستمرة عند x = 1 ، ولكنه لا تقبل الاشتقاق عندها.

مثال (3) : مثل بيان الدالة g(x) = |x-2| ، ادرس قابلية الاشتقاق الدالة على مجال التعريف الخاص بالدالة.

الحل :

ببساطة يمكن التعبير عن الدالة g(x) بصيغة أكثر بساطة ، وبالشكل التالي:

وبساطة يمكن تمثيل الدالة g(x) بشكل واضح وذلك :

شكل (9-1)

ببساطة يمكن التأكد أن الدالة g تقبل الاشتقاق في كل الفترة الحقيقية ما عدا في       x = 2.

مثال (4) : مثل بيان الدالة :

ادرس قابلية الاشتقاق للدالة f(x) ؟

الحل : لتوضيح الفكرة عن الدالة ب ، نقوم برسم المنحني، والذي هو كما يلي:

شكل (10-1)

يتضح من الشكل ان الدالة مستمرة على مجموعة الأعداد الحقيقية، إلا أن الدالة تبقى قابلة للاشتقاق على مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا في الفاصلة x = -2  ، و x =3 كما هو موضح في الشكل، ويمكن إثباته عن طريق قانون المشتق.