Two Electrons in a Box

Two electrons are confined in one dimension to a box of length a. A clever experimentalist has arranged that both electrons have the same spin state. Ignore the Coulomb interaction between electrons.

a) Write the ground state wave function ψ (x₁, x₂) for the two-electron system.

b) What is the probability that both electrons are found in the same half of the box?

SOLUTION

a) If the box is in the region 0 < x < a, then the one-electron orbitals are

(1)

If both electrons are in the spin state α (spin up), then the spin part of the wave function α₁α₂ is symmetric under exchange of coordinates. Therefore, the orbital part has to be antisymmetric, and both particles cannot be in the n = 1 state. Instead, the lowest energy occurs when one electron is in the n = 1 state and the other is in the n = 2 state:

(2)

b) The probability that both are in one half, say the left side, is

(3)

Three integrals must be evaluated:

(4)

(5)

(6)

 (7)

(8)

The result is rather small. Naturally, it is much more favorable to have one particle on each side of the box.

مواضيع ذات صلة

مصطلحات الفيزياء النووية

إزاحة حمراء REDSHIFT

المركبات النانوية (Nanocomposites)

مولد فان دي جراف الالكتروستاتي

التطويرات التقنية الحديثة في المعجلات الالكتروستاتية

معجلات الالكترونات الالكتروستاتية

معجلات الفان دي جراف الترادفية

الحد من زيادة الطاقة في معجل فان دي جراف

أنبوبة التعجيل قي معجلات الجسيمات من نوع فان دي جراف

ارتكاز معجل فان دي جراف

مبدأ تشغيل معجل الفان دي جراف

القضايا الأخلاقية المتعلقة بتكنولوجيا النانو