Coaxial Cable and Poynting Vector

The infinitely long coaxial line in Figure 1.1 carries a steady current I upwards in the inner conductor and a return current I downwards in the outer conductor. Both conductors have a resistance per length (along the axes) λ. The space between the inner and outer conductors is occupied by

Figure 1.1

a vacuum. The radius of the inner conductor is a, and that of the outer conductor is b. In the following, use the cylindrical coordinates, ρ, φ, z. In these coordinates,

a) Find the electrostatic potential and the electric field in the region a < ρ < b. Assume that E_ρ (ρ, φ, 0) = 0.

b) Find the magnetic field in the region a < ρ < b.

c) Calculate the Poynting vector in the region a < ρ < b and integrate it over the surface of the volume bounded by ρ = a, ρ = b, and –l/2 ≤ z ≤ l/2. Comment on the physical implications of your result.

SOLUTION

We have Laplace’s equation in cylindrical coordinates whose solution is

(1)

From the boundary conditions,

(2)

Figure 1.2

Integrating the voltage drop along the cable (see Figure 1.2), we find

(3)

and so

resulting in

(4)

The electric field

(5)

b) The magnetic field in the region a < ρ < b can be found from

(6)

c) The Poynting vector is

(7)

Transforming E into Cartesian coordinates, we have

(8)

The same transformation applies to H, so we obtain

(9)

So

(10)

We now write the flux Fⁱ and F^o into the inner and outer conductors, respectively, from (10):

(11)

(12)

where R is the resistance of a length of each conductor. The total flux going into the conductors F = Fⁱ + F^o = 2I²R, which corresponds to the Joule heating of the conductors. Since there is no current in the vacuum between the conductors and the conditions are stationary, Poynting’s theorem gives

(13)

The total flux is zero. There must also be a corresponding negative flux F^e into the volume through the ends to satisfy Poynting’s theorem. Indeed

(14)

as expected.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الإعلام يشارك في الاجتماع التحضيري لمناقشة الخطة الإعلامية لزيارة عاشوراء

بحضور متوليها الشرعي.. العتبة العباسية المقدسة تواصل إقامة المجالس الحسينية لإحياء شهر المحرم

قسم الشؤون الفكرية يطلق برنامجه التبليغي في أكثر من 20 دولة إفريقية

شعبتا الخطابة النسوية والتوجيه الديني تواصلان إقامة المجالس الحسينية في مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

دراسة تكشف علاقة خطيرة بين عمر الأم وصحة مولودها

دراسة تحذر.. اضطراب نوم بسيط قد يسبب الموت المبكر ؟

الاستحمام بالماء الساخن.. راحة مؤقتة وأضرار دائمة للبشرة

ماذا يحدث للجسم عند تخطي وجبة الإفطار؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

كيف تساعد الصيانة الوقائية في الحفاظ على كفاءة التكييف في سيارتك ؟

في ظاهرة غريبة حيرت العلماء.. كوكبنا قد يسجل أقصر يوم في التاريخ هذا الصيف!

السد الصيني العملاق يعيق دوران الأرض ويغيّر شكلها ؟

السعودية تطلق 10 تجارب علمية إلى محطة الفضاء الدولية

المزيد

مواضيع ذات صلة

جسيمات التماثل الفائق الفوتينوات ، سكواركات ..المادة الظل.. الأكسيونات ..إلخ .

ريادةالانسان للفضاء -قدرة الله في خلق الطيور(كيف الهمت الطيور الانسان )

التجريبية المنطقية وميكانيكا الكم: رؤية كاسيرر بين العلم والفلسفة

المفاهيم الفيزيائية بين الدقة العلمية والتأويل الفلسفي

"توحيد العلوم عبر استبعاد الميتافيزيقا

إرنست ماخ: توحيد الفيزياء عبر الإدراكات الحسية واستبعاد الميتافيزيقا

"الفيزياء بين الكلاسيكية والكم: من حتمية الأشياء إلى نسبية القوانين"

قوانين البقاء في الفيزياء The Conservation Laws of Physics

من كاسيرر إلى ميكانيكا الكم: تطور مفهوم السببية في الفيزياء والفلسفة

نظرة فلسفية لميكانيكا الكم: هل يمكن فهم الحياة بمفاهيم الفيزياء؟

الطول والزمن في النسبية: التحدي الفيزيائي للفلسفة التقليدية

نسبية الطول بين الفيزياء والفلسفة: أينشتاين في مواجهة فالين