Return of Combined Potential

A particle of mass m moves in one dimension according to the potential

(i)

where V₀ and are both constants.

a) Show that the wave function must vanish at x = 0 so that a particle on the right of the origin never gets to the left.

b) Use variational methods to estimate the energy of the ground state.

SOLUTION

a) The potential V(x) contains a term which diverges as O(x^-2) as x → 0.

The only way integrals such as ∫ dx ѱ² V(x) are well defined at the origin is if this divergence is canceled by factors in ѱ. In particular, we must have ѱ ~ x at small x. This shows that the wave function must vanish at x = 0. This means that a particle on the right of the origin stays there.

b) The bound state must be in the region x > 0 since only here is the potential V(x) attractive. The trial wave function is

(1)

where the variational parameter is α. We evaluate the three integrals in (A.3.1)–(A.3.4), where the variable s = x/b:

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

The minimum energy is obtained by setting to zero the derivative of E(α) with respect to α. This gives the optimal value α₀ and the minimum energy E(α₀):

(7)

(8)

(9)

مواضيع ذات صلة

مصطلحات الفيزياء النووية

إزاحة حمراء REDSHIFT

المركبات النانوية (Nanocomposites)

مولد فان دي جراف الالكتروستاتي

التطويرات التقنية الحديثة في المعجلات الالكتروستاتية

معجلات الالكترونات الالكتروستاتية

معجلات الفان دي جراف الترادفية

الحد من زيادة الطاقة في معجل فان دي جراف

أنبوبة التعجيل قي معجلات الجسيمات من نوع فان دي جراف

ارتكاز معجل فان دي جراف

مبدأ تشغيل معجل الفان دي جراف

القضايا الأخلاقية المتعلقة بتكنولوجيا النانو