Repulsive Square Well

Consider in three dimensions a repulsive (V₀ > 0) square well at the origin of width a. The potential is

(1)

Figure 1.1

A particle of energy E = h²k²/2m < V₀ is incident upon the square well (see Figure 1.1).

a) Derive the phase shift for s-waves.

b) How does the phase shift behave as V₀ → ∞?

c) Derive the total cross section in the limit of zero energy.

SOLUTION

a) If the radial part of the wave function is R(r) then define χ(r) = rR(r). Since R is well behaved at r → 0, χ = 0 in this limit. The function χ(r) obeys the following equation for s-waves:

(1)

where

(2)

and the theta function Θ(a – r) is 1 if a > r and 0 if a < r. For r > a the solutions are in the form of sin kr or cos kr. Instead, write it as sin(kr + δ) where the phase shift is δ(k). For r < a define a constant α according to α² = k²₀ – k² > 0. Then the eigenfunction is

(3)

For r < a the constraint that χ(0) = 0 forces the choice of the hyberbolic sine function. Matching the eigenfunction and slope at r = a gives

(4)

(5)

Dividing these equations eliminates the constants A and B. The remaining equation defines the phase shift.

(6)

(7)

b) In the limit that V₀ → ∞, the argument of the arctangent vanishes, since the hyperbolic tangent goes to unity, and δ = -ka.

c) In the limit of zero energy, we can define

(8)

(9)

To find the s-wave part of the cross section at low energy, we start with

(10)

where the total cross section is σ.

مواضيع ذات صلة

مصطلحات الفيزياء النووية

إزاحة حمراء REDSHIFT

المركبات النانوية (Nanocomposites)

مولد فان دي جراف الالكتروستاتي

التطويرات التقنية الحديثة في المعجلات الالكتروستاتية

معجلات الالكترونات الالكتروستاتية

معجلات الفان دي جراف الترادفية

الحد من زيادة الطاقة في معجل فان دي جراف

أنبوبة التعجيل قي معجلات الجسيمات من نوع فان دي جراف

ارتكاز معجل فان دي جراف

مبدأ تشغيل معجل الفان دي جراف

القضايا الأخلاقية المتعلقة بتكنولوجيا النانو