Given a Gaussian

A particle of mass m is coupled to a simple harmonic oscillator in one dimension. The oscillator has frequency ω and distance constant x²₀ = h/mω. At time t = 0 the particle’s wave function ψ (x, t) is given by

(i)

The constant σ is unrelated to any other parameters. What is the probability that a measurement of energy at t = 0 finds the value of E₀ = hω/2?

SOLUTION

Denote the eigenfunctions of the harmonic oscillator as ѱ_n(x) with eigenvalue E_n. They are a complete set of states, and we can expand any function in this set. In particular, we expand our function Ψ(x, 0) in terms of coefficients a_n:

(1)

(2)

The expectation value of the energy is the integral of the Hamiltonian H for the harmonic oscillator:

(3)

where we used the fact that Hѱ_n = E_n ѱ_n. The probability P_n of energy E_n is |a_n|². So the probability of E₀ is given by

(4)

where

(5)

and finally

(6)

It is easy to show that this quantity is less than unity for any value of σ ≠ x₀ and is unity if σ = x₀.

مواضيع ذات صلة

مصطلحات الفيزياء النووية

إزاحة حمراء REDSHIFT

المركبات النانوية (Nanocomposites)

مولد فان دي جراف الالكتروستاتي

التطويرات التقنية الحديثة في المعجلات الالكتروستاتية

معجلات الالكترونات الالكتروستاتية

معجلات الفان دي جراف الترادفية

الحد من زيادة الطاقة في معجل فان دي جراف

أنبوبة التعجيل قي معجلات الجسيمات من نوع فان دي جراف

ارتكاز معجل فان دي جراف

مبدأ تشغيل معجل الفان دي جراف

القضايا الأخلاقية المتعلقة بتكنولوجيا النانو