Combined Potential

A particle of mass m is confined to x > 0 in one dimension by the potential

(i)

where V₀ and b are constants. Assuming there is a bound state, derive the exact ground state energy.

SOLUTION

Let the dimensionless distance be y = x/b. The kinetic energy has the scale factor E_b = h²/2mb². In terms of these variables we write Schrodinger’s equation as

(1)

Our experience with the hydrogen atom, in one or three dimensions, is that potentials which are combinations of y^-1 and y^-2 are solved by exponentials e^-αy times a polynomial in y. The polynomial is required to prevent the particle from getting too close to the origin where there is a large repulsive potential from the y^-2 term. Since we do not yet know which power of y to use in a polynomial, we try

(2)

where s and α need to be found, while A is a normalization constant. This form is inserted into the Hamiltonian. First we present the second derivative from the kinetic energy and then the entire Hamiltonian:

(3)

(4)

We equate terms of like powers of y:

(5)

(6)

(7)

The last equation defines s. The middle equation defines α once is known. The top equation gives the eigenvalue:

(8)

(9)

(10)

مواضيع ذات صلة

مصطلحات الفيزياء النووية

إزاحة حمراء REDSHIFT

المركبات النانوية (Nanocomposites)

مولد فان دي جراف الالكتروستاتي

التطويرات التقنية الحديثة في المعجلات الالكتروستاتية

معجلات الالكترونات الالكتروستاتية

معجلات الفان دي جراف الترادفية

الحد من زيادة الطاقة في معجل فان دي جراف

أنبوبة التعجيل قي معجلات الجسيمات من نوع فان دي جراف

ارتكاز معجل فان دي جراف

مبدأ تشغيل معجل الفان دي جراف

القضايا الأخلاقية المتعلقة بتكنولوجيا النانو