Circle with Field

A particle with charge e and mass m is confined to move on the circumference of a circle of radius r. The only term in the Hamiltonian is the kinetic energy, so the eigenfunctions and eigenvalues are

(i)

(ii)

where ϕ is the angle around the circle. An electric field E is imposed in the plane of the circle. Find the perturbed energy levels up to O(|E|²).

SOLUTION

The perturbation is V(ϕ) = -e|E|r cos ϕ if we assume the field is in the x-direction. The same result is obtained if we assume the perturbation is in the y-direction (V(ϕ) = -e|E|r sin ϕ). In order to do perturbation theory, we need to find the matrix element of the perturbation between different eigenstates. For first-order perturbation theory we need

(1)

The eigenvalues are unchanged to first-order in the field E.

To do second-order perturbation theory, we need off-diagonal matrix elements:

(2)

If we recall that cos ϕ = (e^iϕ + -e^iϕ)/2, then we see that n – m can only

equal ±1 for the integral to be nonzero. In doing second-order perturbation

theory for the state |n⟩, the only permissible intermediate states are m = n ± 1:

(3)

This solution is valid for states n > 0. For the ground state, with n = 0, the n – 1, state does not exist, so the answer is

(4)

مواضيع ذات صلة

مصطلحات الفيزياء النووية

إزاحة حمراء REDSHIFT

المركبات النانوية (Nanocomposites)

مولد فان دي جراف الالكتروستاتي

التطويرات التقنية الحديثة في المعجلات الالكتروستاتية

معجلات الالكترونات الالكتروستاتية

معجلات الفان دي جراف الترادفية

الحد من زيادة الطاقة في معجل فان دي جراف

أنبوبة التعجيل قي معجلات الجسيمات من نوع فان دي جراف

ارتكاز معجل فان دي جراف

مبدأ تشغيل معجل الفان دي جراف

القضايا الأخلاقية المتعلقة بتكنولوجيا النانو