3D Delta Function

Consider a particle of mass m which scatters in three dimension from a potential which is a shell at radius a:

(i)

Derive the exact s-wave expression for the scattering cross section in the limit of very low particle energy.

SOLUTION

For a particle of wave vector k, Schrodinger’s equation for the radial part of the wave function is

(1)

Only s-wave scattering is important at very low energies, so solve for ℓ = 0. Also define χ(r) = rR(r) and get

(2)

(3)

At r → 0, R(r) is well behaved, so χ = rR → 0. Thus we choose our wave functions to be

(4)

The quantity δ is the phase shift. We match the wave functions at r = a. The formula for matching the slopes is derived from (2):

(5)

Matching the function and slope produces the equations

(6)

(7)

which are solved to eliminate A and B and get

(8)

In the limit of low energy, we want ka → 0. We assume there are no bound states so that δ → kd, where d is a constant. We find in this limit:

(9)

(10)

We also give the formula for the cross section in terms of the scattering length d. The assumption of no bound state is that γa < 1.

مواضيع ذات صلة

مصطلحات الفيزياء النووية

إزاحة حمراء REDSHIFT

المركبات النانوية (Nanocomposites)

مولد فان دي جراف الالكتروستاتي

التطويرات التقنية الحديثة في المعجلات الالكتروستاتية

معجلات الالكترونات الالكتروستاتية

معجلات الفان دي جراف الترادفية

الحد من زيادة الطاقة في معجل فان دي جراف

أنبوبة التعجيل قي معجلات الجسيمات من نوع فان دي جراف

ارتكاز معجل فان دي جراف

مبدأ تشغيل معجل الفان دي جراف

القضايا الأخلاقية المتعلقة بتكنولوجيا النانو