Legendre-Gauss quadrature is a numerical integration method also called "the" Gaussian quadrature or Legendre quadrature. A Gaussian quadrature over the interval  with weighting function . The abscissas for quadrature order  are given by the roots of the Legendre polynomials , which occur symmetrically about 0. The weights are

			(1)
			(2)

where  is the coefficient of  in . For Legendre polynomials,

(3)

(Hildebrand 1956, p. 323), so

			(4)
			(5)

Additionally,

			(6)
			(7)

(Hildebrand 1956, p. 324), so

			(8)
			(9)

Using the recurrence relation

			(10)
			(11)

(correcting Hildebrand 1956, p. 324) gives

			(12)
			(13)

(Hildebrand 1956, p. 324).

The weights  satisfy

(14)

which follows from the identity

(15)

The error term is

(16)

Beyer (1987) gives a table of abscissas and weights up to , and Chandrasekhar (1960) up to  for  even.

2		1.000000
3	0	0.888889
		0.555556
4		0.652145
		0.347855
5	0	0.568889
		0.478629
		0.236927

The exact abscissas are given in the table below.

2		1
3	0
4
5	0

The abscissas for order  quadrature are roots of the Legendre polynomial , meaning they are algebraic numbers of degrees 1, 2, 2, 4, 4, 6, 6, 8, 8, 10, 10, 12, ..., which is equal to  for  (OEIS A052928).

Similarly, the weights for order  quadrature can be expressed as the roots of polynomials of degree 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, ..., which is equal to  for  (OEIS A008619). The triangle of polynomials whose roots determine the weights is

	(17)
	(18)
	(19)
	(20)
	(21)
	(22)
	(23)
	(24)

REFERENCES:

Abbott, P. "Tricks of the Trade: Legendre-Gauss Quadrature." Mathematica J. 9, 689-691, 2005.

Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 462-463, 1987.

Chandrasekhar, S. Radiative Transfer. New York: Dover, pp. 56-62, 1960.

Hildebrand, F. B. Introduction to Numerical Analysis. New York: McGraw-Hill, pp. 323-325, 1956.

Sloane, N. J. A. Sequences A008619, A052928, and A112734 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الشؤون الدينية يكثف جهوده للإجابة عن استفتاءات الزائرين الشرعية في شهر رمضان المبارك

ضمن برنامج يبلّغون.. المجمَع العلمي يقيم ثلاثة مجالس قرآنية رمضانية في محافظة نينوى

جناح العتبة العباسية المقدسة في معرض طهران الدولي يشهد فعاليات متنوِّعة

شعبة مدارس الكفيل تطلق حملتها السنوية لدعم العوائل المتعففة في شهر رمضان المبارك

المزيد

الآخبار الصحية

دراسة تكشف "السبب الخفي" وراء ترك التمارين الرياضية

كشف التوقيت "المثالي" لتغيير فرشاة الأسنان

بلاستيك في أنسجة بشرية.. دراسة تكشف مفاجأة طبية

دراسة تحذر من الإفراط في ممارسة الرياضة.. كيف يضر دماءك؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

"ديب سيك" تحجب أحدث نماذجها عن شركات الرقائق الأميركية

"سامسونغ" تطلق سلسلة هواتف "غالاكسي إس 26"

حملات سرية ورسائل تشويه.. كيف يتم استغلال "تشات جي بي تي"؟

أثر نفسي غير متوقع للرياضة.. مرتبط بالغضب

المزيد