طول المتجه (المعيار): العمليات الحسابية للمتجهات:

مبرهنة (1-1) :

لتكن u , v و w متجهات في فضاء 2-  وفضاء 3- ، h ، k كميات ثابتة ، فإن الصيغ الآتية تكون متحققة.

البرهان:

نبرهن العلاقة (2) وتترك البقية كتمارين.

a.الطريقة الهندسية: نفرض أن w,u,v تمثل المتجهات QP , PQ و RS على التوالي [لاحظ الشكل (1-1)].

عليه فإن u + v = QS و v+ (u + w) = PS

كذلك v + u = PR و (v + u) + w = PS

لذا فإن v + (u + w) = (v + u) + w

                                       شكل (1-1)

b.الطريقة الجبرية (التحليلية): نفرض أن المتجهات w , u , v مرسومة في فضاء -3 (بنفس الطريقة في الفضاء 2-). ولتكنv = (v₁, v₂, v₃)   و  u = (u₁, u₂, u₃)

إذن:

طول المتجه: ليكن v = (v₁ , v₂) متجه في فضاء 2- v = (v₁ , v₂ , v₃)  في فضاء 3-] فإن طول v (معيار v)، يكتب ||v||، ومن نظرية فيثاغورس:

                                           شكل (1-2)

ملاحظة:

المتجه الذي طوله يساوي 1 يسمى متجه الوحدة.

إذا كانت النقطتان P = (v₁ , v₂, v₃) و Q (u₁ , u₂ , u₃) في فضاء 3- فإن المسافة بنهما هي طول المتجه PQ ويكتب:

                             شكل (1-3)

لاحظ أن PQ هو متجه حر حيث أن بدايته لا تقع على نقطة الأصل وعندما P تقع على نقطة الأصل 0  فيسمى بالمتجه المقيد وفي مثل هذه الحالة v₁ = v₂ = v₃ = 0 وبالتعويض في (2) نحصل على:

لاحظ [الشكل b (1-2)].

مثال(1):

1. اوجد طول المتجه (v = (-1 , 3 ,2

2. أوجد المسافة PQ حيث P (3,1,-2) و Q (2,-1,1)

الحل:

1. طول المتجه v هو:

2. المسافة هي:

ملاحظة:

من تعريف حاصل ضرب kv، طول المتجه kv، هو: