تعريف (1-1):

تسمى المجموعة الجزئية W من الفضاء V، فضاء جزئي في V إذا كانت W نفسها فضاء متجهات تحت عمليتي الجمع والضرب في V.

ملاحظة:

يتضح من التعريف (1-1) أنه لكي نبرهن W فضاء جزئي من V علينا أن نبرهن أن W تحقق الشروط العشرة الواردة في التعريف (1-1)في(فضاء المتجهات الحقيقي). ولكن عدداً من تلك الشروط لا حاجة لتحقيقها هنا لأن W هي جزء من V، هذه الشروط هي m₅,m₄, m₃, m₂, A₃. لذا سنحتاج فقط برهان الشروط m₁, A₅, A₄, A₁.

مبرهنة (1-2):

المجموع الجزئية غير الخالية W من V تكون فضاء جزئي من V إذا وفقط إذا تحقق الشرطان:

1. لكل v,u∊W فإن v+u∊W

2. إذا k عدد ثابت و v ∊W فإن KV∊W

البرهان :

نبرهن الاتجاه الأول.

نفرض W قضاء جزئي، إذن W فضاء متجهات ولهذا فإنها تحقق شروط التعريف (1-1) في(فضاء المتجهات الحقيقي)، ومنها الشرطان 1 و 2.

وبالعكس نفرض الشرطان متحققان.

لما كانت الشروط A₂ و A₃ و m₂ وm₃ و m₄ و m5 متحققة تلقائياً لأن W مجموعة جزئية من V.

بقي لدينا أن نبرهن الشروط A₄ و A₅.

نفرض v ∊W ، بموجب الشرط الثاني أعلاه فإن Kv ∊W لكل ثابت K. بفرض K = 0 فإن 0V = 0 (مبرهنة (1-2) في(فضاء المتجهات الحقيقي)،  في w وعند فرض K = -1 نحصل على (-1)v = -v في W.

مثال(1):

لتكن w هي مستوى مار بنقطة الأصل [الشكل (1-1) ] و u, v متجهات في W. لذا v+u ∊W وان v + u قطر متوازي الأضلاع، كذلك kv يقع في w ولأي k لأن kv متجه يقع عل امتداد الخط المار بالمتجه v. لذا فإن شروط المبرهنة (1-2) متحققة. عليه فإن W قضاء جزئي.

                                شكل (1-1)

مثال(2):

إذا كانت V فضاء متجهات فإن المجموعة {0} و V نفسها فضاءات جزئية من V، (لأن 0+0=0 وk0=0 لكل عدد ثابت k).

الفضاءات الجزئية {0} و V تسمى الفضاءات الجزئية الواضحة. الفضاءات الجزئية في V عدا الواضحة تسمى الفضاءات الجزئية الفعلية.

مثال(3):

نفرض W هو المستقيم المار بنقطة الأصل في R³، فإن W هو فضاء جزئي. واضح هندسياً [الشكل (5-2) ] أن مجموع متجهين واقعين على هذا المستقيم يقع على المستقيم نفسه، كذلك ضرب أي متجه واقع على هذا المستقيم بعدد ثابت يقع على المستقيم نفسه.

                                        شكل (2-1)

مثال(4):

لتكن P_n مجموعة جمع متعددات الحدود التي درجاتها أصغر أو تساوي n. إذا كان 0<m<n فإن المجموعة الجزئية P_m فضاء جزئي فعلي في P_n .

مثال(5):

إذا كان U و W فضاءات جزئية في الفضاء V فإن تقاطعهما U⋂W فضاء جزئي في V.

مثال(6):

لتكن W مجموعة جميع النقاط (x,y) في R² بحيث أن x,y≽0 إذن هذه النقاط تقع في الربع الأول، لهذا فإن W ليست فضاء جزئي تقع في W لكن (-1)v=(-1,-1)لا تقع في W.

تعريف (1-3):

ليكن V فضاء متجهات و v₁, v₂, v₃, … , v_n متجهات في V يقال للمتجه v في V بأنه تركيب خطي من المتجهات v₁, v₂, , …, v_n إذا أمكن كتابة v بالشكل:

حيث c_n, … , c₂, c₁ كميات ثابتة.

مثال(7):

نفرض v₁ = (1,2,-1) و v₂ = (1,0,-1) متجهات في R³ ، فإن v = (1,0,2)  تركيب خطي من المتجهات v₁ و v₂.

لكي نبرهن تركيب خطي يجب أن نجد c₁ و c₂ بحيث v = c₁v₁ + c₂v₂ أي أن :

عليه:

ولكن هذه المعادلات ليست لها حل، عليه فإن v ليست تركيب خطي من v₁ و v₂.

مثال(8):

إذا كانت متجهات في R³ فإن v = (2,1,5,-1) هو تركيب خطي من v₁ و v₂ و v₃

الحل:

نفرض:

بالتعويض:

وبالمقارنة والتساوي نحصل على:

أي أن: 

                                                V=v₁+2v₂-v₃

ومنها فإن v تركيب خطي من v₃,v₂,v₁.

تعريف (1-4):

إذا كانت v₁,v₂,….v_n متجهات في V، وأن أي متجه v في V هو تركيب خطي من v₁,v₂,….v_n ، فإن هذه المتجهات يقال بأنها تكون [أو تولد أو تنشأ] V

مثال (9):

المتجهات القياسية I = (1,0,0) ، j = (0,1,0) ، K = (0,0,1) في R³ تولد (تنشأ) R³ يمكن كتابته بالشكل:

تركيب خطي من k,j,i.

ملاحظة:

إذا كانت V_n, … , V₂, v₁ تنشأ الفضاء V، فإننا نقول بأنها Span (V).

مثال(10):

 xⁿ,….x²,x,1تنشأ فضاء المتجهات Pⁿ مجموعة جميع متعددات الحدود من الدرجة n) وذلك لأن متعددة حدود p∊pn(x)  هي عبارة عن تركيب خطيب من xⁿ,….x²,x,1، أي:

مثال(11):

مبرهنة (1-5):

لتكن S = v₁, v₂, … , v_m مجموعة جزئية من V، فإن:

1. مجموعة جميع التراكيب لمتجهات S، تكتب L(S)، تكون فضاء جزئياً من V.

2. إذا كانت W فضاء جزئي آخر في V يحوي S فإن L(S)CW. بمعنى آخر L(S) هو أصغر فضاء جزئي يحوي S ويسمى الفضاء الجزئي المتولد من S.

البرهان:

1. نفرض أن u, v متجهان في L(S)، أي:

وكذلك:

إذن كل من v + u و kv في L(S). عليه L(S) فضاء جزئي من V. لما كان أي متجه في S يمكن كتابته.

فإن L(S) يحتوي على جميع المتجهات v_n, … , v₂,v₁.

2. نفرض أن W فضاء جزئي يحوي S. لما كان W مغلق بالنسبة للجمع والضرب بكمية ثابتة. لذلك فإن W يحوي على جميع التراكيب الخطية.

لكل المتجهات v_n, …, v₂,v₁ عليه L(S) CW.

مبرهنة (1-6):