يهدف هذا البند إلى استنتاج بعض الصفات الأساسية للتحويلات الخطية العامة.

مبرهنة (1-1):

لتكنW⟶T :V  تحويلة خطية، فإن مجموعة جميع المتجهات في V التي صورة كل منها بواسطة T تساوي صفر تسمى نواة T وتكتب (kernel T) Ker T. اما مجموعة جميع المتجهات في W والتي هي عبارة عن صورة لعلى الأقل متجه واحد في V بواسطة T، تسمى مدى T، وتكتب     (Image T) Im(T).

يمكن تعريف كل من Ker (T) و Im (T) جبرياً على النحو الآتي:

مثال(1) :

لتكن T:R³⟶R³ تطبيق إسقاطي والمعرف بالشكل:

أوجد Ker T  و  Im T

الحل:

واضح ان النقاط على المحور z تكون صورتها بواسطة T هي المتجه الصفري 0 لذا فإن أما صورة T فتتكون من جميع النقاط في المستوى xy، أي،

مثال(2):

لتكن W⟶T:V تطبيق خطي فإن Ker (T) فضاء جزئي في V و Im (T) فضاء جزئي في W.

الحل:

بما أن T(0) = 0 فإن 0∊ker T (أي أن Ker T غير خالية).

نفرض . ∊ker T u,v إذن T(v) = 0  و  T(u) = 0. لذا فإن:

إذن Ker T فضاء جزئي في V.

وبنفس الطريقة شرط الضرب.

مثال(3):

لتكن T:R⁴⟶R³ تحويلة خطية معرفة بالشكل:

أوجد أساس وبعد صورة T.

الحل: نوجد صور المتجهات الطبيعية للفضاء R⁴.

عليه فإن متجهات صور T تنشأ (T) Im (صورة T). بوضع هذه المتجهات بشكل صفوف وبموجب الشكل المدرج الصفي المختزل نحصل على:                                                                                         

لذا فإن : {(1,1,1) , (0,1,2)} أساس Im (T).

عليه فإن بعد Im (T) هو 2.

مثال(4):

أوجد أساس وبعد Ker (T) للتحويلة الخطية في المثال 3.

الحل:

نفرض T(v) = 0 حيث v = (x,y,s,t)

أي:

 وبمقارنة مركبات المتجهات لطرفي المعادلة أعلاه نحصل على:

حيث t, s هي المتغيرات الحرة، لذا فإن بعد النواة هو 2.

وبإعطاء قيم لأعلى التعين لـ t, s كالآتي:

عندما s = -1  و  1= 0 نحصل على الحل: (2, 1,-1,0).

وعندما s = 0  و  t = 1 نحصل على الحل: (1,2,0,1).

لذا فإن: {(2,1,-1,0) , (1,2,0,1)} هو أساس Ker (T)

لقد عرفنا في البند رتبة المصفوفة بأنه بعد فضاء أعمدتها وصفرية المصفوفة بأنها بعد فضائها الصفري. سنحاول الآن تعميم هذه التعاريف على التحويلات الخطية العامة.

تعريف (1-2):

لتكن W⟶T:V تحويلة خطية فإن:

1. بعد مدى T يقال له رتبة T ويكتب rank (T).

2. بعد نواة T يقال له صفرية T  ويكتب null (T).

مبرهنة (1-2):

إذا كانت A مصفوفة سعتها m x n  و  T_A:Rⁿ⟶R^m مضروبة A فإن:

1. صفرية (T_A) = صفرية (A).

2. رتبة (T_A) = رتبة (A).

البرهان:

لما كانت A سعتها m x n  و T_A:Rⁿ⟶R^m مضروبة A وبموجب المناقشات في الفصول السابقة فإن نواة T_A هي فضاء A الصفري.

ومدى T_A هو فضاء أعمدة A.

مثال(5):

لتكن T:R⁴⟶R⁴ مضروبة A. أوجد رتبة وصفرية T_A

حيث:

الحل:

من المثال 8 في (رتبه المصفوفه) وجدنا أن رتبة A هي 3 وصفرية A هي 1. لهذا وبموجب مبرهنة (1-3) نحصل على

رتبة T_A هي 3 وصفرية T_A هي 1.

مبرهنة (1-4):

لتكن W⟶T:V تحويلة خطية من فضاء المتجهات الذي بعده n إلى فضاء المتجهات W فإن:

(1) .......................................... رتبة T + صفرية n = T

أو:

                                                          N =rank (T) + null (T)

أو:

                                                بعد مدى T + بعد نواة n = T

مثال(6):

من الأمثلة 3 و 4 وجدنا أن بعد مدى T هو 2 وبعد نواة T هو 2 وبموجب مبرهنة (1-4) نجد أن:

رتبة T + صفرية 4 = 2+2 = T وهذه تساوي بعد منطلق T.

مثال(7):

من المثال(1) وجدنا ان بعد مدى T هو 1 وبعد نواتها هو 2 لذا فإن:

2+1 = 3 وهو عبارة عن بعد منطلق T.

أي أن: