في هذا البند سنبين أنه إذا كانت V و W فضاءات متجهات وذات أبعاد منتهية ليس ضرورياً أن يكون Rⁿ  أو R^m، فإن أي تحويل خطي T:V⟶W يمكن اعتباره تحويل مصفوفي. إن الفكرة الأساسية هي في اختيار أساسات للفضاءات V و W والتعامل معها على أساس كونها إحداثية للمتجهات عوضاً عن المتجهات نفسها.

نفرض أن بعد v هو n وبعد w هو m وكذلك أساس V هو B وأساس W هو C . لذا لكل متجه x في V المصفوفة الإحداثية _B[X] هي متجه في R" والمصفوفة الإحداثية [T(X)] ستكون متجه في R^m. الشكل أدناه يوضح هذه الأفكار.

                                                                   شكل (1-1)

وإذا أكملنا الشكل المستطيل أعلاه سنحصل على تطبيق (دالة) من Rⁿ إلى R^m والتي يمكن إثباتها بأنها تحويلة خطية. فلو افترضنا أن A هي المصفوفة العامة لهذه التحويلة، فإن:

المصفوفة A يقال لها مصفوفة T نسبة للأساسين B و C، لاحظ الشكل

                                                        شكل (1-2)

سنوضح بعد ذلك بعض استخدامات المصفوفة A في العلاقة (1)، ولكن قبل ذلك سنين كيف نكون A.

نفرض {v₁, v₂, … , v_n} =B أساس V و {u₁ , u₂, …, u_n}=C  أساس W وليكن:

بحيث تتحقق العلاقة (1) لكل x∊V بمعنى آخر نريد تحقيق هذه العلاقة لمتجهات الأساس v_n, … , v₂,v₁ ، أي:

ملاحظة:

الأعمدة المتتالية للمصفوفة A هي مصفوفات إحداثية. لــ:

نسبة للأساس C.

لذا فإن مصفوفة T نسبة للأساسات C, B هي:

سنرمز لهذه المصفوفة بالرمز _{C, B}[T]. لذا فإن العلاقة (3) تكتب بالشكل:

مثال(1):

الحل:

ملاحظة:

عندما V = W فإن T:V⟶W تسمى عملية خطية وفي مثل هذه الحالة B = C عند إيجاد مصفوفة T. يقال للمصفوفة T مصفوفة T نسبة إلى B وتكتب _B[T] بدلاً من T_B.C. إذا فرضنا أن {v₁, v₂, …, v_n} =B  إن الصيغ (4)  و  (5) تأخذ الصيغ الآتية

لاحظ أن العلاقتين (6) و (7) تنصان على أن مصفوفة T مضروبة في مصفوفة إحداثيات x هي مصفوفة إحداثيات T(x).

مثال (3):

مثال(4):