خواص النهايات : PROPERTIES OF LIMITS

الخاصية الأولى : Property (1)

وحدانية النهايات :  Uniqueness Of Limits

نظرية : تكون الدالة f(x) تقبل نهاية L عند النقطة x = a ، إذن النهاية L تكون وحيدة.

البرهان : نعتبر أن الدالة تقبل نهايتين هما :  , 

فإنه :

وهو ما يؤكد أن :L = Mأي إذا كانت لكل من M ، L نهايتان ، فإنهما متطابقتان.

ملاحظة : نقول عن L إنها نهاية الدالة f(x) عند النقطة x = a إذا كانت كل من يم الدالة f(x) عند x = a من اليمين والشمال والنقطة متساوية. أي أن :

الخاصية الثانية : Property (2)

نظرية : إن الحالات التالية محققة لكل من :

البرهان :

1- بما أن : f(x) = C ، فأن : ، وعليه فإنه يوجد عدد حقيقي موجب يجعل المتراجحة متحققة لكل العدد الحقيقي الموجب

2- لكل العدد الحقيقي الموجب لدينا وجود العدد الحقيقي الموجب ، بحيث إن المتراجحة وهو ما يؤكد أن :

3- ليكن لدينا العدد الحقيقي الموجب فإن :

الخاصية الثالثة :  Property (3)

البرهان : مباشر وبسيط وبترك كتمرين الطالب.

مثال (1) : أوجد النهاية التالية :       

الحل : لدينا :

مثال (2) : أوجد النهاية التالية :

الحل : لدينا : 

ملاحظة : ليس دائماً يمكن حساب النهايات بالأسلوب المباشر، مما يستدعي اتباع مهارات خاصة، والتي تندرج في حالات عدم التعين السبعة الأساسية ، ونتطرق إلى أهمها في الأمثلة النموذجية التالية :

ملاحظة : توجد حالات يصعب كتابة البسط بدلالة المقام أو العكس وعليه توجد واعد أخرى تساهم في حل بعض الحالات.