المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر


Stokes, Theorem  
  
1668   01:45 صباحاً   date: 13-7-2021
Author : Morse, P. M. and Feshbach, H.
Book or Source : "Stokes, Theorem." In Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill
Page and Part : p. 43


Read More
Date: 12-8-2021 1910
Date: 25-6-2017 1329
Date: 28-7-2021 1578

Stokes' Theorem

For omega a differential (k-1)-form with compact support on an oriented k-dimensional manifold with boundary M,

 int_Mdomega=int_(partialM)omega,

(1)

where domega is the exterior derivative of the differential form omega. When M is a compact manifold without boundary, then the formula holds with the right hand side zero.

Stokes' theorem connects to the "standard" gradient, curl, and divergence theorems by the following relations. If f is a function on R^3,

 grad(f)=c^(-1)df,

(2)

where c:R^3->R^3^* (the dual space) is the duality isomorphism between a vector space and its dual, given by the Euclidean inner product on R^3. If f is a vector field on a R^3,

 div(f)=^*d^*c(f),

(3)

where * is the Hodge star operator. If f is a vector field on R^3,

 curl(f)=c^(-1)^*dc(f).

(4)

With these three identities in mind, the above Stokes' theorem in the three instances is transformed into the gradient, curl, and divergence theorems respectively as follows. If f is a function on R^3 and gamma is a curve in R^3, then

 int_gammagrad(f)·dl=int_gammadf=f(gamma(1))-f(gamma(0)),

(5)

which is the gradient theorem. If f:R^3->R^3 is a vector field and M an embedded compact 3-manifold with boundary in R^3, then

 int_(partialM)f·dA=int_(partialM)^*cf=int_Md*cf=int_Mdiv(f)dV,

(6)

which is the divergence theorem. If f is a vector field and M is an oriented, embedded, compact 2-manifold with boundary in R^3, then

 int_(partialM)fdl=int_(partialM)cf=int_Mdc(f)=int_Mcurl(f)·dA,

(7)

which is the curl theorem.

de Rham cohomology is defined using differential k-forms. When N is a submanifold (without boundary), it represents a homology class. Two closed forms represent the same cohomology class if they differ by an exact form, omega_1-omega_2=deta. Hence,

 int_Nomega_1-omega_2=int_Ndeta=0.

(8)

Therefore, the evaluation of a cohomology class on a homology class is well-defined.

Physicists generally refer to the curl theorem

 int_S(del xF)·da=int_(partialS)F·ds

(9)

as Stokes' theorem.


REFERENCES:

Morse, P. M. and Feshbach, H. "Stokes' Theorem." In Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, p. 43, 1953.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.