تقريب Wentzel, Kramers, Brillouin WKB

تبدأ من المعادلة التالية: 

وبعد التعويض فيها بالدالة الموجية Ψ = rf₁ نصل الى المعادلة:

...............(1)

حيث للجزيئة المهتزة الدوارة:

...............(2)

والطاقة الحركية للحركة النصف قطرية تساوي:

.............(3)

ويمكن التعبير عنها من خلال الزخم النصف قطري:

..............(4)

وبتعويض نصل الى المعادلة:

...............(5)

لجهد ثابت فان k = k₀ ويساوي ثابت والمعادلة (5) تصف جسيم حر وحل المعادلة (5) يكون بالدالة:

.............(6)

فيمكن تجربة الحل الاتي: r يتغير ببطء مع تغيير V(r) واذا كان

..........(7)

وبتعويض المعادلة (5) نحصل على معادلة الدالة المجهولة u(r):

............(8)

واذا كان الجهد لا يتغير بسرعة مع r فان المشتقة الثانية مقدارها قليل ويمكن اهمالها ونحصل على التقريب الصفري u₀(r) من المعادلة (8):

.............(9)

وبعد تعويض هذه النتيجة في المعادلة (8) نحصل على التقريب الاول:

................(10)

هذه المعادلة يمكن استخدامها كأساس لطريقة تقريبية تكرارية حيث يمكن ادخال التقريب (n-1) على يمين المعادلة (10) ونحصل على اقتريب n للدالة u(r) على يسار المعادلة والحلول هي:

...............(11)

حيث c_n ثابت التكامل ويتعين بالشروط الحدودية وللتقريب الاول نحصل على:

...........(12)

يتقارب الاجراء اذا كان وبالتعبير عن المقدار داخل التكامل بمتوالية تصل الى:

............(13)

للدالة الموجية (Ψ(r نحصل على الحل التقريبي:

............(14)

وهو المعروف بتقريب WKB وبإدخال طول موجة دي برولي   يمكن كتابة معيار التقارب بالشكل:

.................(15)

اي ان التقريب صحيح اذا كان تغير الزخم خلال طول موجية واحد من موجة دي برولي صغير بالنسبة الى الزخم نفسه.