In cylindrical coordinates, the scale factors are , , , so the Laplacian is given by

(1)

Attempt separation of variables in the Helmholtz differential equation

(2)

by writing

(3)

then combining (1) and (2) gives

(4)

Now multiply by ,

(5)

so the equation has been separated. Since the solution must be periodic in  from the definition of the circular cylindrical coordinate system, the solution to the second part of (5) must have a negative separation constant

(6)

which has a solution

(7)

Plugging (7) back into (5) gives

(8)

and dividing through by  results in

(9)

The solution to the second part of (9) must not be sinusoidal at  for a physical solution, so the differential equation has a positive separation constant

(10)

and the solution is

(11)

Plugging (11) back into (9) and multiplying through by  yields

(12)

But this is just a modified form of the Bessel differential equation, which has a solution

(13)

where  and  are Bessel functions of the first and second kinds, respectively. The general solution is therefore

(14)

In the notation of Morse and Feshbach (1953), the separation functions are , , , so the Stäckel determinant is 1.

The Helmholtz differential equation is also separable in the more general case of  of the form

(15)a

REFERENCES:

Moon, P. and Spencer, D. E. Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, 2nd ed.New York: Springer-Verlag, pp. 15-17, 1988.

Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 514 and 656-657, 1953.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

مؤتمر السيد المجاهد يشهد عرض فيلم وثائقي عن سيرته العلمية ومشروع إحياء تراثه

بحث حوزوي يتناول التمييز بين المعجزة والسحر عند السيد المجاهد

بحث يناقش أثر القواعد العقلية في استنباط الأحكام الشرعية عند السيد محمد المجاهد

بحث علمي يناقش ردود السيد المجاهد على اللغويين والنحويين في كتابه (مفاتيح الأصول)

المزيد

الآخبار الصحية

هل توقيت نشاطك اليومي يؤثر على صحة دماغك؟.. العلماء يجيبون

"مشروب محبوب" يخفي فوائد لا يعرفها كثيرون

طبيب يكشف 5 أنواع للسعال.. بعضها خطير

نقص فيتامينات "خفي".. قد يفسّر التعب والتنميل وقلة التركيز

المزيد

الآخبار التكنلوجية

دراسة: تغيّرات في أسلوب القيادة قد تكشف مبكرا عن الخرف !

عمرها 773 ألف سنة.. اكتشاف أقدم أحافير بشرية في المغرب

"اختراق علمي".. اختبار دم في منزلك قد يكشف ألزهايمر

ماذا يحدث للجسم عند قطع الكافيين فجأة؟

المزيد