المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 6724 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر



Euler-Lagrange Differential Equation  
  
418   02:37 مساءً   التاريخ: 13 / 7 / 2018
المؤلف : Arfken, G
الكتاب أو المصدر : Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, 1985.
الجزء والصفحة : ...
القسم : الرياضيات / المعادلات التفاضلية و التكاملية / معادلات تفاضلية / المعادلات التفاضلية الجزئية /


أقرأ أيضاً
التاريخ: 12 / 7 / 2018 43
التاريخ: 13 / 7 / 2018 36
التاريخ: 21 / 7 / 2018 58
التاريخ: 25 / 7 / 2018 37

Euler-Lagrange Differential Equation

 The Euler-Lagrange differential equation is the fundamental equation of calculus of variations. It states that if J is defined by an integral of the form

 J=intf(t،y،y^.)dt،

(1)

where

 y^.=(dy)/(dt)،

(2)

then J has a stationary value if the Euler-Lagrange differential equation

 (partialf)/(partialy)-d/(dt)((partialf)/(partialy^.))=0

(3)

is satisfied.

If time-derivative notation y^. is replaced instead by space-derivative notation y_x، the equation becomes

 (partialf)/(partialy)-d/(dx)(partialf)/(partialy_x)=0.

(4)

The Euler-Lagrange differential equation is implemented as EulerEquations[f، u[x]، x] in the Wolfram Languagepackage VariationalMethods` .

In many physical problems، f_x (the partial derivative of f with respect to x) turns out to be 0، in which case a manipulation of the Euler-Lagrange differential equation reduces to the greatly simplified and partially integrated form known as the Beltrami identity،

 f-y_x(partialf)/(partialy_x)=C.

(5)

For three independent variables (Arfken 1985، pp. 924-944)، the equation generalizes to

 (partialf)/(partialu)-partial/(partialx)(partialf)/(partialu_x)-partial/(partialy)(partialf)/(partialu_y)-partial/(partialz)(partialf)/(partialu_z)=0.

(6)

Problems in the calculus of variations often can be solved by solution of the appropriate Euler-Lagrange equation.

To derive the Euler-Lagrange differential equation، examine

deltaJ = deltaintL(q،q^.،t)dt

(7)

= int((partialL)/(partialq)deltaq+(partialL)/(partialq^.)deltaq^.)dt

(8)

= int[(partialL)/(partialq)deltaq+(partialL)/(partialq^.)(d(deltaq))/(dt)]dt،

(9)

since deltaq^.=d(deltaq)/dt. Now، integrate the second term by parts using

u = (partialL)/(partialq^.)        dv

(10)

= d(deltaq)

(11)

du = d/(dt)((partialL)/(partialq^.))dt    v=deltaq،

(12)

so

 int(partialL)/(partialq^.)(d(deltaq))/(dt)dt=int(partialL)/(partialq^.)d(deltaq)=[(partialL)/(partialq^.)deltaq]_(t_1)^(t_2)-int_(t_1)^(t_2)(d/(dt)(partialL)/(partialq^.)dt)deltaq.

(13)

Combining (◇) and (◇) then gives

 deltaJ=[(partialL)/(partialq^.)deltaq]_(t_1)^(t_2)+int_(t_1)^(t_2)((partialL)/(partialq)-d/(dt)(partialL)/(partialq^.))deltaqdt.

(14)

But we are varying the path only، not the endpoints، so deltaq(t_1)=deltaq(t_2)=0 and (14) becomes

 deltaJ=int_(t_1)^(t_2)((partialL)/(partialq)-d/(dt)(partialL)/(partialq^.))deltaqdt.

(15)

We are finding the stationary values such that deltaJ=0. These must vanish for any small change deltaq، which gives from (15)،

 (partialL)/(partialq)-d/(dt)((partialL)/(partialq^.))=0.

(16)

This is the Euler-Lagrange differential equation.

The variation in J can also be written in terms of the parameter kappa as

deltaJ = int[f(x،y+kappav،y^.+kappav^.)-f(x،y،y^.)]dt

(17)

= kappaI_1+1/2kappa^2I_2+1/6kappa^3I_3+1/(24)kappa^4I_4+...،

(18)

where

v = deltay

(19)

v^. = deltay^.

(20)

and the first، second، etc.، variations are

I_1 = int(vf_y+v^.f_(y^.))dt

(21)

I_2 = int(v^2f_(yy)+2vv^.f_(yy^.)+v^.^2f_(y^.y^.))dt

(22)

I_3 = int(v^3f_(yyy)+3v^2v^.f_(yyy^.)+3vv^.^2f_(yy^.y^.)+v^.^3f_(y^.y^.y^.))dt

(23)

I_4 = int(v^4f_(yyyy)+4v^3v^.f_(yyyy^.)+6v^2v^.^2f_(yyy^.y^.)+4vv^.^3f_(yy^.y^.y^.)+v^.^4f_(y^.y^.y^.y^.))dt.

(24)

The second variation can be re-expressed using

 d/(dt)(v^2lambda)=v^2lambda^.+2vv^.lambda،

(25)

so

 I_2+[v^2lambda]_2^1=int_1^2[v^2(f_(yy)+lambda^.)+2vv^.(f_(yy^.)+lambda)+v^.^2f_(y^.y^.)]dt.

(26)

But

 [v^2lambda]_2^1=0.

(27)

Now choose lambda such that

 f_(y^.y^.)(f_(yy)+lambda^.)=(f_(yy^.)+lambda)^2

(28)

and z such that

 f_(yy^.)+lambda=-(f_(yy^.))/z(dz)/(dt)

(29)

so that z satisfies

 f_(y^.y^.)z^..+f^._(y^.y^.)z^.-(f_(yy)-f^._(yy^.))z=0.

(30)

It then follows that

I_2 = intf_(y^.y^.)(v^.+(f_(yy^.)+lambda)/(f_(y^.y^.))v)^2dt

(31)

= intf_(y^.y^.)(v^.-v/z(dz)/(dt))^2dt.

(32

 


REFERENCES:

Arfken، G. Mathematical Methods for Physicists، 3rd ed. Orlando، FL: Academic Press، 1985.

Forsyth، A. R. Calculus of Variations. New York: Dover، pp. 17-20 and 29، 1960.

Goldstein، H. Classical Mechanics، 2nd ed. Reading، MA: Addison-Wesley، p. 44، 1980.

Lanczos، C. The Variational Principles of Mechanics، 4th ed. New York: Dover، pp. 53 and 61، 1986.

Morse، P. M. and Feshbach، H. "The Variational Integral and the Euler Equations." §3.1 in Methods of Theoretical Physics، Part I.New York: McGraw-Hill، pp. 276-280، 1953.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.





صدر حديثا عن مركز تراث سامراء كتاب ((رسالة في كرامات السيد المجدد الشيرازي (قدس سره))
بمناسبة عيد الاضحى المبارك...مدير الوقف السني في سامراء يتشرف بزيارة مرقد الامامين العسكريين "عليهما...
تزامنا مع حلول عيد الاضحى المبارك...العتبة العسكرية المقدسة توزع وجبة جديدة من السلات الغذائية لمستحقيها...
مكتب سماحة السيد السيستاني (دام ظلّه) في النجف الأشرف يجيب على استفتاء حول مراسم عزاء الامام الحسين (عليه...