تردد الحركة التوافقية البسيطة

يعتبر إيجاد تعبير لتردد الحركة التوافقية البسيطة باستعمال حساب التفاضل والتكامل مسألة مباشر تماما.

الشكل ((1: عندما يتحرك الجسيم Q على محيط دائرة نصف قطرها x₀ بسرعة ثابتة المقدار v₀، تتحرك النقطة P حركة توافقية بسيطة من –x₀ ≤ x ≤ x₀ ، ونظراً لأن نصف قطر الدائرة x₀ ، اذن x = x₀ cos θ.

سوف نبدأ بتخيل جسيم Q يتحرك بسرعة v₀ المقدار في دائرة نصف قطرها x₀. هذه الدائرة تسمى دائرة الاسناد، ويمثل الشكل (1) رسما تخطيطيا لهذه الحركة. ويمكن أيضا وصف حركةQ  بأنها حركة ذات سرعة زاوية /Δt = ωθΔ ثابتة تعطى بالعلاقة  = v₀/x₀ω , أن ω تقاس بالزاوية نصف القطرية لكل ثانية . وكلن الدورة T  التي يصنع خلالها الجسيم Q دورة كاملة هي الزمن اللازم للدوران حول الدائرة مرة واحدة ، أو:

إذن ، تردد الحركة f ، أي عدد الدورات لكل ثانية , هو مجرد مقلوب الدورة:

لا حظ في الشكل 1)) أن النقطة p  تمثل موضع مسقط الجسيمQ  على المحور x ، حيث x = x₀ cos θ لأي قيمة للإحداثي x ومعنى ذلك أنه عندما يدور الجسيم q على محيط الدائرة دورة كاملة فإن p تتحرك على استقامة المحور x من يوجد معادلة الى –x ثم تعود الى +x0 بنفس الدورة وبنفس التردد كالجسيم Q تماما وسوف  نثبت الان أن p  تتحرك SHM  .

تعطى العجلة الطاردة المركزية للحركة الدائرة للجسيم Q بالعلاقة:

لاحظ أن هذه العجلة a_c تعمل في اتجاه نصف القطر الى داخل , كما هو مبين بالشكل ( (1وبناء على ذلك فإن العجلة المناظرة للنقطة P تساوي مركبة a_c في اتجاه المحور X:

وتعني الإشارة السالبة أن عجلة النقطة p , أي (p)a تؤثر في الاتجاه السالب للمحور x . إذن ، باستخدام التعبير الخاص بالعجلة الطاردة المركزية a_c والعلاقة معادلة نحصل على:

1))           

حيث w ثابتة . هذا يثبت أن النقطة P تتحرك SHM , وذلك لان العلاقة a = -kx تمثل الصورة العاملة لعجلة الحركة التوافقية البسيطة.

الآن أصبح إيجاد تردد الحركة التوافقية البسيطة عموما مسألة في غاية البساطة ، فبأستعمال المعادلة (1) نجد أن:

حيث k ثابت القوة. وهكذا يمكن تعريف ω كالتالي :

   2))           

إذن , تردد الحركة التوافقية البسيطة للنقطة P  هو:

  (3)            

كما أن دورة الحركة التوافقية البسيطة هو:

          (4)   

مواضيع ذات صلة

أنظمة لأكثر من جسيم واحد

كمية التحرك الزاوية والقوة المركزية

الحركة الدورانية

امثلة عن الاتزان الاستاتيكي للأجسام الممتدة

الاتزان الاستاتيكي للأجسام الممتدة

تعريف العزم

تذبذبات صغيرة لبندول

اعتبارات الطاقة في الحركة التوافقية البسيطة

الحل الهندسي للمعادلة التفاضلية للحركة التوافقية البسيطة، دائرة المرجع

الحل باستخدام حساب التفاضل والتكامل

قانون هوك والمعادلة التفاضلية للحركة التوافقية البسيطة

القدرة ووحدات الشغل