لقد استمرت العودة إلى الأصول، مثلما واصلت الرياضيات التوسع في البحث عن فتوحات جديدة؛ وظل كل من هذين النشاطين مغذيا للآخر. ولعل غير المتخصصين في مجال الرياضيات لا يدركون اليوم تماما السبب في أن هذه المقاربة المزدوجة كانت ضرورية قطعا . ويصدق هذا خاصة عندما يتعلق الأمر بالإصرار على صحة الأصول وعموميتها، وهو ما يساء فهمه غالبا بالتركيز على جعل المنطق ملزما، بينما - على العكس تماما - كانت كل مرحلة من البحث استجابة لقضية ما دقيقة ومحددة في أغلب الأحيان.
لنعد، على سبيل المثال، إلى السؤال عن نوع التحليل الذي يمكن، أو يجب اتباعه في بحث الدوال كما رأينا بعد الدوال التي يمكن حسابها بسهولة - وهي الأولى وفق الأهمية بالنسبة إلى محللي القرن الثامن عشر - ظهرت دوال خاصة أخرى نسبت إلى بيسيل Bessel أو ليجندر Legendre أو آخرين ويمكن أن نجدها الآن في علوم الأرض والكهربية والإلكترونيات، حيث إن فائدتها العلمية لا تقبل الجدل. وغالبا ما تعرف هذه الدوال بأنها مجموع متسلسلة لا نهائية وهي الإمكانية التي حققها نيوتن بالفعل. إن أحد الإسهامات الأولى لرياضيات القرن التاسع عشر، والذي يعزى بصورة خاصة إلى كوشي Cauchy كان تحديد متى يمكن استخدام مثل هذه الدوال في الواقع، أي تحديد الشروط التي تكون عندها مثل هذه المتسلسلات ذات مجموع محدد تماما أو بلغة فنية تكون تقاربية. وهذا متطلب طبيعي مرتبط ارتباطا وثيقا بتعيين الخطأ الناشئ عن حساب هذه الدوال، وهو السؤال الذي لا يمكن لأي مستخدم أن يتجاهله .
تعتمد دالة ما على متغير بأخذ عادة أي قيمة عددية، لكن من غير الممكن طبعا حساب الدالة عندما يأخذ متغيرها فيما عديدة لا نهائية. والآن، إذا حسبت الدالة لقيمة متغير معينة، كم يكون مقدار تغيرها المحتمل عندما يأخذ المتغير قيمة جديدة قريبة جدا من القيمة السابقة؟ من الواضح أن الدوال التي يمكن استخدامها في حسابات عددية هي تلك التي تتغير بقيم صغيرة نتيجة التغيرات الصغيرة في قيم متغيراتها. وهذه هي الدوال المتصلة (التي يمكن تعريفها طبعا بلغة رياضية دقيقة).
كان ذلك هو الموقف حتى العام 1807، عندما أدخل فورييه Fourier طريقة أخرى لتعريف الدوال المفيدة وحسابها. وكانت المتسلسلات التي درست حتى ذلك الحين تسمى متسلسلات القوى power series. وهذا يعني، على وجه التقريب، أن كثيرات الحدود اللانهائية التي تكون معاملاتها ذات رتبة أعلى تصبح كافية بسرعة صغيرة لأن تتقارب المتسلسلة. من ناحية أخرى، نجد متسلسلة فورييه أو) المتسلسلة المثلثية (هي حاصل جمع الجيوب وجيوب التمام) التي تصبح تذبذباتها أقوى بصورة متزايدة. وأبسط مثال لهذه المتسلسلات ينتج من تحلل صوت آلة موسيقية إلى توافقياتها المتنوعة مما يبين أن فكرة فورييه لم تكن مجرد حب استطلاع أو فضول غير جدير بالاهتمام، بل كانت أداة لا يمكن للفيزياء أن تعمل من دونها . إن متسلسلات فورييه وتعميماتها تعمُّ حاليا جميع المجالات التقنية والعلمية، وتستخدم المعالجات الدقيقة (الميكرونية) استخداما روتينيا لحسابها بسرعة عالية من خلال مركبات معينة في الروبوت.
إلا أنه من غير المعروف تماما أن أفكار كانتور Cantor الشهيرة عن اللا نهاية قد برزت نتيجة لمشكلة عصيّة الحل في متسلسلة فورييه، وإن كانت أيضا بالغة القيمة. في العام 1830 استخدم بولزانو Bolzano متسلسلة من هذا النوع لبناء دالة متصلة ليست لها مشتقة عند نقاط عديدة لا نهائية لفترة ما . لقد لمعت ومضة تحذيرية، حيث إنه دائما ما يفترض بالحدس أن أي دالة كانت معرفة صراحة، ولو فقط بمتسلسلة، يكون لها مشتقة، إلا أن نتيجة بولزانو تعني الآن أن المشتقات هي أدوات ذات فائدة عظمى في الرياضيات والفيزياء على السواء، لا يمكن ضمان صحتها أو حتمية حدوثها؛ إن مشتقة الدالة كانت مطلوبة في كل وقت (في سياق الحساب مثلا)، وعلى المرء أن يثبت أولا أنها وجدت.
الفيزيائيون لا يقدرون على تجاهل مثل هذه الغرائب، بالتعويل على حصانة الطبيعة لهذا النوع من الخلل والحال ليست هكذا فعلا. بعض الفيزيائيين كانوا أيضا مرتابين قال هيرميت Hermite مازحا بسخرية:
«عندما أصادف إحدى هذه الدوال المتصلة غير القابلة للاشتقاق فإني أعزف عنها بامتعاض». ولكن الحقيقة تمثلت في أنه إذا كان يجب على الأطباء أن يؤدوا القسم الأبقراطي، فإنه يجب على الرياضيين أن يحترموا قسما أوقليديا غير مكتوب يجبرهم على إثبات مبرهناتهم. لقد كانوا حينذاك مرغمين على منع هذا النوع من الحادثات بوضع الحواجز الضرورية كيف يتوهمون أن مثل هذا العمل سوف يؤدي بهم يوما ما إلى تطوير مفاهيم سوف تحتاج إليها الفيزياء ذاتها في نهاية المطاف؟ ولكن تلك قصة مختلفة).
هكذا وجد ديدكند وكانتور نفسيهما وجها لوجه أمام اللا نهاية. والحقيقة أننا نجد اللانهاية عمليا في كل مكان في الرياضيات. ففي اللحظة التي يجب أن تأخذ عندها حدا تكون اللا نهاية هنالك، حيث إن عدد الحدود يجب أن يؤول بالضرورة إلى ما لا نهاية إذا كان علينا أن نحصل على مجموع متسلسلة ما أو على تعريف تكامل ما. وعند التعامل مع النتائج يجب علينا أن نأخذ الاعتبار حدودا من رتب أعلى. ولتعريف مشتقة ما يتطلب الأمر أخذ متغيرها بحيث تكون أقرب وأقرب بعضها إلى بعض. إن ترميز عدد حقيقي - كما عرفه أو دكسس Eudoxas وأقليدس بأنه نتيجة قياس طول محدد أو أي كمية حقيقية محددة - يُرفع إلى ما لا نهاية بمجرد أن نقرر التعبير عنه رياضيا. ولمعرفة هذا تكفي ملاحظة أن عددا لا نهائيا من الأرقام يكون مطلوبا بوجه عام بعد العلامة العشرية. وقد فضل فيرشتراس Weierstrass وديد كند أن يريا عددا حقيقيا على أنه حد لتقريباته العشرية المتتابعة لكن هذا الحد هو - مرة ثانية - ذروة لعملية لا نهائية غير محددة.
أما الهندسة فإنها لا تستطيع أن تتحاشى اللانهاية. فالفراغ الأقليدي لانهائي. والمطلوب أعداد حقيقية تحمل معها اللا نهاية للتعبير عن الإحداثيات. وفي كل جزء خطى، مهما كان صغيرا، توجد نقاط عديدة لانهائية (غير محددة).
يتلقى المرء بشيء من الحكمة النصح والإرشاد بأن يظل بعيدا من عالم الذين يروضون اللا نهاية. ويعتبر جورج كانتور ( 1845 - 1918) في طليعة هؤلاء وأعظمهم على وجه اليقين. إن هذا العالم أشبه بالمعبد الذي ينبغي ولوجه والسير فيه برفق كما تحظر فيه التقارير الجارفة مادامت بغير معنى.
لم تكن اللا نهاية جديدة، فالإغريق لديهم الأبيرون عند أنكسمندر وعدد لا يحصى من خطوات أخيل (**) في مفارقة زينون. إن لا تناهي الرب في كل صفاته كان أيضا موضع دراسة ونقاش خلال الدراسات والمساجلات التي دارت بين اللاهوتيين والفلاسفة في العصور الوسطى. إلا أن الموضوع على غرابته - كما يبدو - ظل بكرا من الناحية الفعلية، لأن جميع مبررات الماضي كانت زائفة ومنغمسة في مغالطات لا يعرف أحد كيف يحلها . لقد تم إنجاز كل شيء، ما عدا إقرار نتيجة نهائية تقضي بأن الجنة التي استحدثها كانتور لنا، كما أسماها هيلبرت، لم تكن في حقيقة الأمر الجنة الوحيدة الممكنة. وكان من الضروري معرفة أن رياضيات اليوم على إطلاقها، التي قد تكون مستغلقة لا سبيل إلى فهمها أو تكون مصدر افتتان لبعض الفلاسفة أو مبعث رعب وامتعاض (الآخرين)، كانت الممكن الوحيد واقعيا . ومن هذه الحقيقة جزئيا سوف يأتي التشظي.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

تكريم الجامعات الفائزة ولجنة التحكيم المشاركة في مسابقة النور القرآنية الدولية الجامعية

اختتام فعاليات مسابقة النور القرآنية الدولية الجامعية في جامعة العميد

قسم الصيانة يُنهي تنصيب منظومة الإنذار المبكّر للحرائق في ثانوية نور العباس (عليه السلام) للبنين

في يومها الثاني.. مسابقة النور القرآنية تواصل فعالياتها في جامعة العميد

المزيد

الآخبار الصحية

أول إرشادات غذائية قائمة على الأدلة لمعالجة الإمساك المزمن

صباح بلا إفطار؟.. صحتك في خطر!

هل يمكن للجلد أن يكشف عن صحتك العقلية؟.. دراسة حديثة تجيب

السر في مطبخك.. 6 أطعمة تمنح عظامك قوة الشباب

المزيد

الآخبار التكنلوجية

ناسا تكشف: كوكب الأرض أصبح أقل لمعانا خلال العقود الماضية

دراسة: الوقت الذي تستخدم فيه هاتفك قد يفضح حالتك النفسية

الهنغاري لاسلو كراسناهوركاي يفوز بجائزة نوبل للآداب 2025

رسميا.. إعلان الفائز بجائزة نوبل للسلام لعام 2025

المزيد

مواضيع ذات صلة

القضايا(التمثيل الصوري للحقائق)

الرموز والفئات (البنية الصورية للرياضيات والحوسبة في الفيزياء)

مبرهنة عدم الاكتمال لغودل

الواقعية الرياضية

الرياضيات الكلاسيكية

رياضيات العصر الحاضر

Superposition of solutions

Linear differential equations

Imaginary exponents

Complex numbers

Approximating irrational numbers

Abstraction and generalization