Atmospheric Energy

The density of the Earth’s atmosphere, ρ (z), varies with height z above the Earth’s surface. Assume that the “thickness” of the atmosphere is sufficiently small so that it is in a uniform gravitational field of strength g.

a) Write an equation to determine the atmospheric pressure P (z), given the function ρ (z).

b) In a static atmosphere, each parcel of air has an internal energy ∆E_i and a gravitational potential energy ∆E_g. To a very good approximation, the air in the atmosphere is an ideal gas with constant specific heat. Using this assumption, the result of part (a), and classical thermodynamics, show that the total energy in a vertical column of atmosphere of cross-sectional area A is given by

and that the ratio of energies is

where T is the temperature, P₀ is the pressure at the Earth’s surface, μ is the molar mass, C_p is the molar specific heat at constant pressure, and γ ≡ C_p/C_v is the ratio of specific heats.

Hint: The above results do not depend on the specific way in which P(z), T(z) and ρ (z) vary as a function of z (e.g., isothermal, adiabatic, or something intermediate). They depend only on the fact that P(z) is monotonically decreasing. At some step of the derivation, you might find it useful to do an integration by parts.

SOLUTION

a) Again starting with the ideal gas law

we have

(1)

b) The gravitational energy of a slice of atmosphere of cross section A and thickness dz at a height z is simply

(2)

while the internal energy of the same slice is

(3)

The total internal energy E_i is given by the integral of (S.4.21.3):

(4)

We wish to change the integral over z into an integral over P. To do so, first consider the forces on the slice of atmosphere:

(5)

Rearranging (5), we have

(6)

Substituting (6) into (4), we obtain

(7)

The total gravitational energy E_g may be found by integrating (2):

(8)

Integrating by parts gives

(9)

The first term on the RHS of (9) is zero since at the limits of evaluation either z = 0 or ∫ ρ (z') = 0, so we have

(10)

The ratio of energies E_g/E_i, from (10) and (7) is

(11)

Finally,

(12)

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

خمسون عامًا من العطاء.. نجم الأعرجي خادم الزائرين بلا انقطاع

العتبة العباسية المقدسة تواصل إقامة مجالسها العزائية لإحياء شهر المحرم

العتبة العباسية المقدسة تطلق سلسلة محاضرات قرآنية عاشورائية في بابل

في مساء اليوم الخامس من المحرّم.. المواكب الكربلائيّة تواصل فعالياتها العزائية

المزيد

الآخبار الصحية

لهذا السبب.. إغلاق 25 مركزًا لعلاج الإدمان في مصر ؟

خلافا للاعتقاد الشائع.. علماء يكشفون أسرار بذور البطيخ ؟!

هذا ما يحدث لجسمك عند تناولك الطماطم بانتظام !

تعرف على أطعمة تسرّع "تعافي الجسم" من حروق الشمس

المزيد

الآخبار التكنلوجية

الثلوج تغطي الصحراء الأكثر جفافا في العالم!

بتلسكوب "ألما".. التقاط صورا غير مسبوقة لبدايات الكون !

هل هاتفك مراقب؟.. 5 علامات خطيرة تكشف التجسس عليك

دبي تطلق أول رحلة تجريبية للتاكسي الجوي

المزيد

مواضيع ذات صلة

جسيمات التماثل الفائق الفوتينوات ، سكواركات ..المادة الظل.. الأكسيونات ..إلخ .

ريادةالانسان للفضاء -قدرة الله في خلق الطيور(كيف الهمت الطيور الانسان )

التجريبية المنطقية وميكانيكا الكم: رؤية كاسيرر بين العلم والفلسفة

المفاهيم الفيزيائية بين الدقة العلمية والتأويل الفلسفي

"توحيد العلوم عبر استبعاد الميتافيزيقا

إرنست ماخ: توحيد الفيزياء عبر الإدراكات الحسية واستبعاد الميتافيزيقا

"الفيزياء بين الكلاسيكية والكم: من حتمية الأشياء إلى نسبية القوانين"

قوانين البقاء في الفيزياء The Conservation Laws of Physics

من كاسيرر إلى ميكانيكا الكم: تطور مفهوم السببية في الفيزياء والفلسفة

نظرة فلسفية لميكانيكا الكم: هل يمكن فهم الحياة بمفاهيم الفيزياء؟

الطول والزمن في النسبية: التحدي الفيزيائي للفلسفة التقليدية

نسبية الطول بين الفيزياء والفلسفة: أينشتاين في مواجهة فالين