المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

علم الفيزياء
عدد المواضيع في هذا القسم 11580 موضوعاً
الفيزياء الكلاسيكية
الفيزياء الحديثة
الفيزياء والعلوم الأخرى
مواضيع عامة في الفيزياء

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر


Halved Harmonic Oscillator  
  
1298   04:02 مساءاً   date: 18-8-2016
Author : Sidney B. Cahn, Gerald D. Mahan And Boris E. Nadgorny
Book or Source : A GUIDE TO PHYSICS PROBLEMS
Page and Part : part 2 , p 64


Read More
Date: 9-8-2016 1043
Date: 17-3-2021 1062
Date: 25-8-2016 832

Halved Harmonic Oscillator

Consider a particle of mass m moving in one dimension (see Figure 1.1) in a potential

Figure 1.1

a) Using the normalized trial function

find the value of λ which minimizes the ground state energy and the resulting estimate of the ground state energy. How is this value related to the true ground state energy?

b) What is the exact ground state wave function and energy for this system (neglect the normalization of the wave function)? Do not solve the Schrodinger equation directly. Rather, state the answer and justify it.

Hint: You may need the integral

SOLUTION

a) Using the Rayleigh–Ritz variation principle, calculate ⟨E(λ)⟩, the expectation value of the ground state energy as a function of λ:

(1)

First calculate the denominator of (1):

(2)

So our trial function is already normalized. Continuing with the numerator of (1), we have

(3)

where we set Ah2/2m and B = mω2/2. Evaluate the integral I ≡ ⟨E(λ)⟩/4λ3:

(4)

Now,

(6)

So, we have

(6)

Finally,

(7)

To minimize this function, find λ0 corresponding to

(8)

(9)

(10)

(11)

Therefore,

(12)

We should have the inequality

(13)

where E0 is the true ground state energy.

b) To find the exact ground state of the system, notice that odd wave functions of a symmetric oscillator problem (from -∞ to ∞) will also be solutions for these boundary conditions since they tend to zero at x = 0.

Therefore, the ground state wave function of this halved oscillator will correspond to the first excited state wave function of the symmetrical oscillator. The wave function can easily be obtained if you take the ground state |0⟩ and act on it by the creation operator a:

The ground state energy of our halved oscillator will in turn correspond to the first excited state energy  of the symmetrical oscillator:

Comparing this result with that of (a), we see that the inequality (13) holds and that our trial function is a fairly good approximation, since it gives the ground state energy to within 15% accuracy.




هو مجموعة نظريات فيزيائية ظهرت في القرن العشرين، الهدف منها تفسير عدة ظواهر تختص بالجسيمات والذرة ، وقد قامت هذه النظريات بدمج الخاصية الموجية بالخاصية الجسيمية، مكونة ما يعرف بازدواجية الموجة والجسيم. ونظرا لأهميّة الكم في بناء ميكانيكا الكم ، يعود سبب تسميتها ، وهو ما يعرف بأنه مصطلح فيزيائي ، استخدم لوصف الكمية الأصغر من الطاقة التي يمكن أن يتم تبادلها فيما بين الجسيمات.



جاءت تسمية كلمة ليزر LASER من الأحرف الأولى لفكرة عمل الليزر والمتمثلة في الجملة التالية: Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation وتعني تضخيم الضوء Light Amplification بواسطة الانبعاث المحفز Stimulated Emission للإشعاع الكهرومغناطيسي.Radiation وقد تنبأ بوجود الليزر العالم البرت انشتاين في 1917 حيث وضع الأساس النظري لعملية الانبعاث المحفز .stimulated emission



الفيزياء النووية هي أحد أقسام علم الفيزياء الذي يهتم بدراسة نواة الذرة التي تحوي البروتونات والنيوترونات والترابط فيما بينهما, بالإضافة إلى تفسير وتصنيف خصائص النواة.يظن الكثير أن الفيزياء النووية ظهرت مع بداية الفيزياء الحديثة ولكن في الحقيقة أنها ظهرت منذ اكتشاف الذرة و لكنها بدأت تتضح أكثر مع بداية ظهور عصر الفيزياء الحديثة. أصبحت الفيزياء النووية في هذه الأيام ضرورة من ضروريات العالم المتطور.