Rapidity

a) Consider two successive Lorentz transformations of the three frames of reference K₀, K₁, K₂. K₁ moves parallel to the x axis of K₀ with velocity v, as does K₂ with respect to K₁. Given an object moving in the x direction with velocity v₂ in K₂ derive the formula for the transformation of its velocity from K₂ to K₀.

b) Now consider n+1 frames moving with the same velocity v relative to one another (see Figure 1.1). Derive the formula for a Lorentz transformation from K_n to K₀ if the velocity of the object in K_n is also v.

 Figure 1.1

Hint: You may want to use the definition of rapidity or velocity parameter, tanh ψ = β, where β = v/c.

SOLUTION

a) The velocity of the particle moving in frame K₁ with velocity v₂ in the frame K₁ is given by a standard formula:

Introducing β_i = v_i/c we may rewrite this formula in the form

(1)

Now the same formula may be written for a transformation from K₁ to K₀:

(2)

Now substituting (1) into (2), we obtain

b) If we need to make a transformation for n-frames, it is difficult to obtain a formula using the approach in (a). Instead, we use the idea of rapidity, ѱ. Indeed for one frame, we had in (1)

which is the formula for the tanh of a sum of arguments

where tanh ѱ_i = β_i. This means that the consecutive Lorentz transformations are equivalent to adding rapidities. So the velocity in the frame K₀ after n transformations (if v_n+1 = v ) will be given by

We can check that if n → ∞, then β_i → 1.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

المجمَع العلمي يقيم مسابقة الكوثر الخاصة بترتيل القرآن الكريم في كربلاء

قسم الشؤون الفكرية والثقافية يُصدر العدد الثالث والعشرين من مجلّة (أوراق معرفية)

قسم التربية والتعليم يُطلق الموسم التدريبيّ الصيفيّ لملاكات مجموعة العميد التربوية

المجمَع العلمي يُطلق المرحلة الثالثة من مشروع أمير القرّاء الوطني

المزيد

الآخبار الصحية

اختراق علمي.. دواء يؤخر ظهور السكري من النوع الأول لسنوات

هذا ما يحدث لجسمك إن أهملت نظافة فراشك

لماذا تعتبر النساء أكثر عرضة للإصابة بألزهايمر من الرجال؟

لماذا يحذر الخبراء من الإفراط في تناول الفراولة؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

السيارات الكهربائية أنظف بنسبة 73% من سيارات الوقود

سيارة لوسِد الكهربائية تدخل "غينيس" بأطول مدى في العالم

نظرية جديدة تنسف كل ما نعرفه عن تشكل أول قارة في الأرض

منذ 37 ألف عام.. دراسة تكشف "أقدم أمراض" أصابت البشر

المزيد

مواضيع ذات صلة

جسيمات التماثل الفائق الفوتينوات ، سكواركات ..المادة الظل.. الأكسيونات ..إلخ .

ريادةالانسان للفضاء -قدرة الله في خلق الطيور(كيف الهمت الطيور الانسان )

التجريبية المنطقية وميكانيكا الكم: رؤية كاسيرر بين العلم والفلسفة

المفاهيم الفيزيائية بين الدقة العلمية والتأويل الفلسفي

"توحيد العلوم عبر استبعاد الميتافيزيقا

إرنست ماخ: توحيد الفيزياء عبر الإدراكات الحسية واستبعاد الميتافيزيقا

"الفيزياء بين الكلاسيكية والكم: من حتمية الأشياء إلى نسبية القوانين"

قوانين البقاء في الفيزياء The Conservation Laws of Physics

من كاسيرر إلى ميكانيكا الكم: تطور مفهوم السببية في الفيزياء والفلسفة

نظرة فلسفية لميكانيكا الكم: هل يمكن فهم الحياة بمفاهيم الفيزياء؟

الطول والزمن في النسبية: التحدي الفيزيائي للفلسفة التقليدية

نسبية الطول بين الفيزياء والفلسفة: أينشتاين في مواجهة فالين