النظام واللانظام ( الفوضى)

يعلم كل مغامر ان احتمال حدوث حدث معين يزداد كلما امكن أن يتحقق ذلك الحدث بطرق كثيرة مختلفة. ولتوضيح هذه الحقيقة، لنأخذ لعبة إلقاء خمس قطع عملة معدنية متماثلة على منضدة بعد هزها في كوب مثلاً هزاً جيداً. هناك ستة أحداث ممكنة فقط يمكن ان تحدث في كل رمية ( جدول ((1).

الجدول (:(1يوجد ست نتائج ( أحداث) ممكنة في لعبة إلقاء قطع العملة المعدنية الخمس.                       

قد يبدو للوهلة الاولى ان احتمال حدوث كل من الأحداث المدرجة بالجدول (1) متساوي، ولكن هذا ليس صحيحاً. ذلك أن هناك طريقة واحدة فقط لحدوث الحدث 1 أو الحدث 6، ولكن هناك خمس طرق مختلفة لحدوث الحدث 2. وإذا رمزنا لقطع العملة الخمس بالحرف A , B , C , D , E سنجد أن هذه الطرق كما هو موضح بالجدول ((2.

وحيث أن  عدد الطرق التي يمكن ان يتحقق بها الحدث 2 اكبر خمس مرات من عدد الطرق التي يتحقق بها الحدث 1، فإن احتمال حدوث الحدث 2 أكبر خمس مرات من احتمال حدوث الحدث 1. وحيث ان الحدث 5 يمن أن يتحقق بخس طرق مختلفة أيضاً، إذن، اختمال حدوث كل من الحدثين 2 و 5 متساوي. ومن الواضح أن احتمال حدوث كل من الحدثين الأخيرين أكبر خمس مرات من احتمال حدوث كل من الحدثين 1 و 6.

الجدول (2): الطرق المختلفة لحدوث الحدث 2

عند تعريف كل حدث في الجدول ((1 اعتبرنا أن قطع العملة الخمس كلها متكافئة، بمعنى أنه لا فرق بين أن تظهر الصورة أو الكتابة على الوجه العلوي لهذه القطعة أو تلك. ويسمى كل حدث بالحالة الماكروئية ( الكلية) للترتيبات الممكنة لقطع العملة. ويوضح الجدول ((2 الطرق المختلفة التي تكون بها قطع العملة المنفردة حالة ماكروئية واحدة هي بالتحديد الحدث 2 في الجدول (1)، وسوف نسمى كلاً من الترتيبات المختلفة بالجدول ((2 ( الت تناظر نفس الحدث، 2) بالحالة الميكروئية (المجهرية).

هذا ويمثل الجدول (2) عدد الحالات الميكروئية لكل حدث بالجدول (1).

يمكن تعريف احتمالية حدوث حالة ماكروئية معينة على أساس الفرض البسيطة التالي:

كل حالة ميكروئية لها نفس احتمالية الحدوث؛ أي ان احتماليات حدوث جميع الحالات الميكروئية المناظرة لحالة ماكروئية معينة متساوية.

الجدول (3): جدول الاحتمالية لقطع العملة الخمس.

وهكذا ، تعرف احتمالية حدوث حدث معين ( حالة ماكروئية معينة) ببساطة بأنها نسبة عدد الحالات الميكروئية التي يمكن ان تكون لذلك الحدث إلى العدد الكلي للحالات الميكروئية التي يمكن حدوثها. فمثلاً، العدد الكلي للحالات الميكروئية المتاحة لخمس قطع من العملة هو 2⁵ = 23  ،وعليه فإن احتمالية حدوث الحدث 2 تساوي 5/32 = 15.6 %.

ويوضح الجدول (3) احتمالية كل من الاحداث السنة بالجدول (1).

الشكل (1): عدد الطرق التي يظهر فيها العدد المبين من الصورة على الوجه الطوى عند إلقاء 100 قطعة معدنية. عدد الطرق التي يظهر فيها على الوجه العلوي أقل من 30 صورة ( أو أكثر من 70  كتابة) صغير جداً بحيث لا يمكن تمثيله في هذا الرسم البياني، ويمكن اعتباره صفراً بالتقريب. لاحظ أن 90% تقريباً من العد الكلي للطرق يقع بين 40 و 60 صورة.

يمكننا تعميم هذا بالأسلوب المنطقي للدراسة على الحالات التي تتضمن عدد أكبر من قطع العملة، وليكن 100 على سبيل المثال. في هذه الحالة يكون العدد الكلي للحالات الميكروئية المتاحة 2¹⁰⁰ = 1.3×10³⁰ ويلاحظ أن واحدة فقط من هذه الحالات الميكروئية تناظر الحالة الماكروئية التي تظهر فيها الصورة على جميع الاوجه العلوية لقطع العملة المائة ، وواحدة فقط تناظر ظهور الكتابة على الأوجه العلوية جميعاً . ومن جهة أخرى فهناك تقريباً 10²⁸ × 10 حالة ميكروئية لتكوين الحالة الماكروئية لظهور 50 صورة و50 كتابة على الأوجه العلوية لقطع العملة (الشكل ((1). ومع ذلك فإن الحالة الميكروئية لظهور100  صورة على الوجه العلوي لها نفس الاحتمالية كغيرها من باقي الحالات الماكروئية الأخرى، ولكن احتمالية الحالة الماكروئية "100 صورة" أقل بنسبة قدرها 10^-29 من الحالة الماكروئية "50 صورة و 50 كتابة". هذه ويلخص الشكل (1) جميع الاحتماليات الممكنة في حالة 100 قطعة عملة.

من الممكن تلخيص جميع هذه النتائج بطريقة بسيطة جداً. لاحظ في الشكل ((1 أن الخط البياني يقل إلى حوالي عشر قيمته العظمى عند النقطتين 40 صورة و 60 صورة. ولتقدير اتساع ذروة المنحني يمننا القول أنها تمتد من 50-10 إلى 50+10 ، بمعنى أنك إذا لقيت 100 قطعة عملة فإن عدد الصور التي يجب ظهورها على الوجه العلوي يساوي حوالي 50 ± 10. النتيجة العامة إذن هي:

ويسمى العدد التالي للإشارة ± الانحراف المتوقع. وهو يدلنا على المدى الذي يقع فيه عدد الصور. ويبين التحليل الإحصائي التفصيلي أن 4 في المائة فقط من عدد إلقاءات قطع العملة المائة سوف يعطي عدداً من الصور خارج هذا المدى.