العجلة الجاذبة المركزية

تمثل حركة الجسم في مسار دائري بسرعة ثابتة المقدار موقفاً على قدر كبير من الأهمية. فمثلاً ، اعتبر حالة سيارة تسير في مسار دائري بسرعة ثابتة المقدار v، وليكن 20 m/s ، كما هو مبين بالشكل (1). بالرغم من أن مقدار سرعة السيارة 20 m/s عند الموضعين 1 و 2 وعند جميع النقط الأخرى على المسار، إلا أن السيارة تعاني عجلة معينة. ولفهم هذه العبارة يجب أن نتذكر حقيقتين: (1) مقدار السرعة والسرعة نفسها ليس نفس الشيء. (2) تعرف العجلة بأنها المعدل الزمني لتغير السرعة ( كمية متجهة) وليس المعدل الزمني لتغير مقدار السرعة (كمية غير متجهة). وحيث ان اتجاه السرعة عند الموضع 1 ليس هو اتجاهها عند الموضع 2، فإن السرعة تتغير أثناء حركة السيارة في المسار. ومن تعريف العجلة المتوسطة نجد ان العجلة المتوسطة للسيارة بين الموضعين 1 و 2 يعطي بالعلاقة:

الشكل 1)): مع أن مقدار سرعة السيارة ثابت عند أي موضع على المسار فإن سرعتها تتغير باستمرار لأن اتجاه متجه السرعة ليس ثابتاً.

لتحسب الآن عجلة السيارة.

بالاستعانة بالشكل 2)) الذي يمثل نفس الموقف نلاحظ أن المركبة y لسرعة السيارة تتغير من v_y عند الموضع 1 إلى - v_y عند الموضع 2، بينما تظل المركبة x ثابتة عند الموضعين. من هذا نجد أنه عندما تنتقل السيارة من 1 إلى 2 ستتغير مركبة سرعة السيارة بمقدار:

الشكل ((2: لاحظ أن سرعة السيارة تتغير بمقدار – 2v_y عند انتقالها من الموضع 1 إلى الموضع 2. وتبين الإشارة السالبة أن هذا التغير في الاتجاه السالب للمحور y، أي اتجاه مركز الدائرة.

كذلك فإن الزمن الذي تستغرقه السيارة للانتقال من 1 إلى 2 هو t = s/v، حيث v السرعة المماسية الثابتة المقدار للسيارة في مسارها و s طول القوس من 1 إلى 2. وحيث أن θ = s/r ، من تعريف القياس نصف القطري، إذن:

وذلك لأن s تقابل زاوية قدرها 2ϕ في هذه الحالة. وعليه :

نعلم الآن أن التغير في السرعة هو – 2v_y وأن الزمن المار هو 2rϕ/v. وهكذا:

ولكننا نرى من الشكل 2)) أن v_y = v sinϕ إذن :

هذه هي العجلة المتوسطة للسيارة أثناء الحركة من الموضع 1 إلى الموضع 2. ولكن ما يهمنا هو قيمة العجلة اللحظية α عند أي نقطة مثل A، وللحصول  على العجلة اللحظية علينا ببساطة تقليل ϕ حتى إلى قيمة صغيرة جداً. ولكن  ϕ sin ϕ ≡ عندما تكون ϕ زاوية صغيرة مقدرة بالقياس نصف القطري ( استخدم حاسبة الجيب للتأكد من أن هذا صحيح)، إذن، العجلة اللحظية تكون:

هذه هي عجلة السيارة عند مرورها بالنقطة A. وحيث ان مقدار السرعة ثابت فإن جميع النقط الواقعة على الدائرة متكافئة.  ومن ثم يكون مقدار العجلة  v²/r = α مهما كان موضع A على الدائرة.

لنحاول الآن إيجاد اتجاه هذه العجلة. تذكر أن اتجاه a ، طبقاً للتعريف، هو نفس اتجاه Δv وبالاستعانة بالشكل (2) نجد أن Δv= -2v_yعند النقطة A، وتبين الإشارة السالبة أن Δv متجه يشير من النقطة A في اتجاه الجزء السالب من المحور y، أي اتجاه مركز الدائرة. وعليه فإن Δv ( وأيضاً a) عند A متجه يشير تجاه مركز الدائرة. ولكن النقطة A يمكن أن تكون أي نقطة نختارها على الدائرة، كما يمكن اختيار المحور y بحيث يمر بأي نقطة نختارها. ومن ثم فإن استنتاجنا الذي توصلنا إليه باختيار هذه النقطة بالذات هو استنتاج عام تماماً، وينطبق على جميع النقط الواقعة على الدائرة. وتلخيصاً لذلك نقول:

أي جسم متحرك بسرعة ثابتة المقدار في مسار دائري نصف قطره r يقع تحت تأثير عجلة تتجه نحو مركز الدائرة. هذه العجلة تسمى العجلة الجاذبية المركزية a_c (حرفياً " الباحث عن المركز" )، ومقدار هذه العجلة هو:

حيث استخدمنا العلاقة v = ωr