المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
زكاة الغلات
2024-11-05
تربية أنواع ماشية اللحم
2024-11-05
زكاة الذهب والفضة
2024-11-05
ماشية اللحم في الولايات المتحدة الأمريكية
2024-11-05
أوجه الاستعانة بالخبير
2024-11-05
زكاة البقر
2024-11-05

المجاز
26-09-2015
أسس تصميم الصحف الإلكترونية على شبكة الإنترنت- 3: تنظيم المعلومات- تصفيف المعلومات
10-2-2022
الدولة والمجتمع
30-8-2022
كــيميــاء النيكـل
2024-05-22
أسلوب كتابة الطرائف في الاخبار
2023-05-29
أصحاب الصراط ومشقة الطريق
2023-06-12

Irrationality Measure  
  
1557   01:58 صباحاً   date: 24-7-2020
Author : Bondareva, I. V.; Luchin, M. Y.; and Salikhov, V. K.
Book or Source : "Symmetrized Polynomials in a Problem of Estimating the Irrationality Measure of the Number ln3." Chebyshevskiĭ Sb. 19
Page and Part : ...


Read More
Date: 22-5-2020 696
Date: 25-12-2020 793
Date: 4-7-2020 608

Irrationality Measure

Let x be a real number, and let R be the set of positive real numbers mu for which

 0<|x-p/q|<1/(q^mu)

(1)

has (at most) finitely many solutions p/q for p and q integers. Then the irrationality measure, sometimes called the Liouville-Roth constant or irrationality exponent, is defined as the threshold at which Liouville's approximation theorem kicks in and x is no longer approximable by rational numbers,

 mu(x)=inf_(mu in R)mu,

(2)

where inf_(mu in R)mu is the infimum. If the set R is empty, then mu(x) is defined to be mu(x)=infty, and x is called a Liouville number. There are three possible regimes for nonempty R:

 {mu(x)=1   if x is rational; mu(x)=2   if x is algebraic of degree >1; mu(x)>=2   if x is transcendental,

(3)

where the transitional case mu(x)=2 can correspond to x being either algebraic of degree >1 or x being transcendental. Showing that mu(x)=2 for x an algebraic number is a difficult result for which Roth was awarded the Fields medal.

The definition of irrationality measure is equivalent to the statement that if x has irrationality measure mu, then mu is the smallest number such that the inequality

 |x-p/q|>1/(q^(mu+epsilon))

(4)

holds for any epsilon>0 and all integers p and q with q sufficiently large.

The irrationality measure of an irrational number x can be given in terms of its simple continued fraction expansion x=[a_0,a_1,a_2,...] and its convergents p_n/q_n as

mu(x) = 1+lim sup_(n->infty)(lnq_(n+1))/(lnq_n)

(5)

= 2+lim sup_(n->infty)(lna_(n+1))/(lnq_n)

(6)

(Sondow 2004). For example, the golden ratio phi has

 mu(phi)=2,

(7)

which follows immediately from (6) and the simple continued fraction expansion phi=[1,1,1,...].

Exact values include mu(L)=infty for L Liouville's constant and mu(e)=2 (Borwein and Borwein 1987, pp. 364-365). The best known upper bounds for other common constants as of mid-2020 are summarized in the following table, where zeta(3) is Apéry's constant, Ln_q(2) and h_q(1) are q-harmonic series, and the lower bounds are 2.

constant x upper bound reference
pi 7.10320534 Zeilberger and Zudilin (2020)
pi^2 5.09541179 Zudilin (2103)
ln2 3.57455391 Marcovecchio (2009)
ln3 5.116201 Bondareva et al. (2018)
zeta(3) 5.513891 Rhin and Viola (2001)
Ln_q(2) 2.9384 Matala-Aho et al. (2006)
h_q(1) 2.4650 Zudilin (2004)

The bound for pi is due to Zeilberger and Zudilin (2020) and improves on the value 7.606308 previously found by Salikhov (2008). It has exact value given as follows. Let N_+/- be the complex conjugate roots of

 108N^3-2359989N^2+138304N-2048=0,

(8)

let N_3 be the positive real root, and let

a_1 = ln|N_+/-|-5/2ln2+4-pi/(2sqrt(3))+ln((3sqrt(3))/4)

(9)

= -1.90291648...

(10)

a_3 = lnN_3-5/2ln2+4-pi/(2sqrt(3))+ln((3sqrt(3))/4)

(11)

= 11.61389004...,

(12)

then the bound is given by

 mu(pi)<=1-(a_3)/(a_1).

(13)

Alekseyev (2011) has shown that the question of the convergence of the Flint Hills series is related to the irrationality measure of pi, and in particular, convergence would imply mu(pi)<=2.5, which is much stronger than the best currently known upper bound.


REFERENCES:

Alekseyev, M. A. "On Convergence of the Flint Hills Series." http://arxiv.org/abs/1104.5100/. 27 Apr 2011.

Amdeberhan, T. and Zeilberger, D. "q-Apéry Irrationality Proofs by q-WZ Pairs." Adv. Appl. Math. 20, 275-283, 1998.

Beukers, F. "A Rational Approach to Pi." Nieuw Arch. Wisk. 5, 372-379, 2000.

Bondareva, I. V.; Luchin, M. Y.; and Salikhov, V. K. "Symmetrized Polynomials in a Problem of Estimating the Irrationality Measure of the Number ln3." Chebyshevskiĭ Sb. 19, 15-25, 2018.

Borwein, J.; Bailey, D.; and Girgensohn, R. Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery. Wellesley, MA: A K Peters, pp. 3-4, 2004.

Borwein, J. M. and Borwein, P. B. "Irrationality Measures." §11.3 in Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, pp. 362-386, 1987.

Finch, S. R. "Liouville-Roth Constants." §2.22 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 171-174, 2003.

Hardy, G. H. and Wright, E. M. An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford: Clarendon Press, 1979.

Hata, M. "Legendre Type Polynomials and Irrationality Measures." J. reine angew. Math. 407, 99-125, 1990.

Hata, M. "Improvement in the Irrationality Measures of pi and pi^2." Proc. Japan. Acad. Ser. A Math. Sci. 68, 283-286, 1992.

Hata, M. "Rational Approximations to pi and Some Other Numbers." Acta Arith. 63, 335-349, 1993.

Hata, M. "A Note on Beuker's Integral." J. Austral. Math. Soc. 58, 143-153, 1995.

Hata, M. "A New Irrationality Measure for zeta(3)." Acta Arith. 92, 47-57, 2000.

Marcovecchio, R. "The Rhin-Viola Method for log2." Acta Arith. 139, 147-184, 2009.

Matala-Aho, T.; Väänänen, K.; abd Zudilin, W. "New Irrationality Measures for q-Logarithms." Math. Comput. 75, 879-889, 2006.

Rhin, G. and Viola, C. "On a Permutation Group Related to zeta(2)." Acta Arith. 77, 23-56, 1996.

Rhin, G. and Viola, C. "The Group Structure for zeta(3)." Acta Arith. 97, 269-293, 2001.

Rukhadze, E. A. "A Lower Bound for the Rational Approximation of ln2 by Rational Numbers." [In Russian]. Vestnik Moskov Univ. Ser. I Math. Mekh., No. 6, 25-29 and 97, 1987.

Salikhov, V. Kh. "On the Irrationality Measure of ln3."Dokl. Akad. Nauk 417, 753-755, 2007. Translation in Dokl. Math. 76, No. 3, 955-957, 2007.

Salikhov, V. Kh. "On the Irrationality Measure of pi." Usp. Mat. Nauk 63, 163-164, 2008. English transl. in Russ. Math. Surv 63, 570-572, 2008.

Sondow, J. "Irrationality Measures, Irrationality Bases, and a Theorem of Jarnik." Proceedings of Journées Arithmétiques, Graz 2003 in the Journal du Theorie des Nombres Bordeaux. http://arxiv.org/abs/math.NT/0406300.

Stark, H. M. An Introduction to Number Theory. Cambridge, MA: MIT Press, 1994.

van Assche, W. "Little q-Legendre Polynomials and Irrationality of Certain Lambert Series." Jan. 23, 2001. http://wis.kuleuven.be/analyse/walter/qLegend.pdf.

Zeilberger, D. and Zudilin, W. "The Irrationality Measure of pi is at Most 7.103205334137...." 8 Jan 2020. https://arxiv.org/abs/1912.06345.

Zudilin, V. V. "An Essay on the Irrationality Measures of pi and Other Logarithms." Chebyshevskiĭ Sb. 5, 49-65, 2004.

Zudilin, V. V. "On the Irrationality Measure of pi^2." Russian Math. Surveys 68, 1133-1135, 2013.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.